Potęgowanie macierzy + rozkład Jordana

[matinf]

Witam,
Mamy macierz, którą mam zapisaną w rozkładzie Jordana, tzn:

\(\displaystyle{ A^{-1} \cdot J \cdot A}\)

Konsekwentnie:
\(\displaystyle{ \left(A^{-1} \cdot J \cdot A\right)^{50} = A^{-1}J^{50}A}\)
Jak widać, możemy na koniec już sam poprzemnażać przez macierze A.
Ale inną kwestię chciałbym poruszyć:
\(\displaystyle{ J^{50}=\begin{bmatrix}
-4 & 1 & 0\\
0 & -4 &1 \\
0 & 0 & -4
\end{bmatrix}^{50} =\left(\begin{bmatrix}
-4 & 0 & 0\\
0 & -4 & 0\\
0 & 0 & -4
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
0& 1 & 0\\
0 &0 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \right)^{50}}\)
Niech teraz ta 1sza to \(\displaystyle{ X}\), a ta druga to \(\displaystyle{ Y}\).
Wówczas:
\(\displaystyle{ \left(X+Y\right)^{50} = {50 \choose 0}X + {50 \choose 1}X^{49}Y + {50 \choose 2}X^{48}Y^2+ {50 \choose 3} 0 +...+ {50 \choose 49} 0 + {50 \choose 50} 0 =
{50 \choose 0}X + {50 \choose 1}X^{49}Y + {50 \choose 2}X^{48}Y^2}\)
Czy to jest ok rozpisanie ?
Policzyć to, a na koniec pomnożyć jeszcze razy tamte macierze \(\displaystyle{ A}\)

[Qń]

Spróbuj raczej pokazać indukcyjnie, że:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
a & 1 & 0\\
0 & a & 1\\
0 & 0 & a\end{bmatrix}^n=
\begin{bmatrix}
a^n & \binom n1 a^{n-1} & \binom n2 a^{n-2}\\
0 & a^n & \binom n1 a^{n-1}\\
0 & 0 & a^n\end{bmatrix}}\)

Q.

[matinf]

Ok, to jest bardzo dobry pomysł Zabiorę się za to, ale najpierw pytania:


1)Moje rozwiązanie jest prawidłowe ? (Czy prawidłowo rozpisałem tą potęgę sumy - tzn czy we właściwych miejscach pojawiły się zera).

2) Nie wiem jednak, czy to jest taki dobry pomysł, a to dlatego, że:
Jakby wyglądał wzór gdyby to była macierz która ma dwie (może nawet 3) różne wartości własne.
Bo Twoje rozumowanie zakłada, że jest jedna - tak w moim przypadku jest to jedna, ale jeśli już
miałbym robić to indukcyjnie, to warto mieć ogólny wzór.

[Qń]

Twój sposób też jest ok, choć należy pamiętać, że w ogólności nie można tak podnosić do potęgi sumy macierzy \(\displaystyle{ (A+B)^n}\) - tutaj jest to legalne, bo mnożenie przez pierwszą macierz jest przemienne.

A jeśli wartości własnych jest więcej, to jeśli \(\displaystyle{ J_i}\) są klatkami Jordana, to:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} J_1 & 0 & \ldots& 0\\ 0 & J_2 & \ldots &0\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\0 & 0 &\ldots & J_k\end{bmatrix}^n= \begin{bmatrix} J_1^n & 0 & \ldots& 0\\ 0 & J_2^n & \ldots &0\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\0 & 0 &\ldots & J_k^n\end{bmatrix}}\)

Q.

[matinf]

Być może nie do końca łapię wzór, który zapisałeś.
No ok, są to klatki Jordana, Ale w nich tak po prostu potęgujemy ?

[Qń]

Może przykład rozjaśni:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4\end{bmatrix}^5 = \begin{bmatrix}
3^5 & 5\cdot 3^4 & 10\cdot 3^3 & 0 & 0 & 0\\
0 & 3^5 & 5\cdot 3^4 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 3^5 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 2^5 & 5\cdot 2^4 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 2^5 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4^5\end{bmatrix}}\)
ponieważ:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
3 & 1 & 0 \\
0 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 3 \end{bmatrix}^5=
\begin{bmatrix}
3^5 & 5\cdot 3^4& 10\cdot 3^3 \\
0 & 3^5 & 5\cdot 3^4 \\
0 & 0 & 3^5 \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
2 & 1 \\
0 & 2\end{bmatrix}^5=
\begin{bmatrix}
2^5 & 5\cdot 2^4\\
0 & 2^5\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}4\end{bmatrix}^5= \begin{bmatrix}4^5\end{bmatrix}}\)

Q.