Witam czy pomorze ktoś z następującymi zadaniami lub chociaż podpowie jak je zrobić?
1) Należy wyznaczyć jądro oraz obraz funkcji należącej do \(\displaystyle{ Lin( Z_{2}^{n},Z_{2})}\) danej nastepującym wzorem: \(\displaystyle{ f(x_{1},x_{2},..,x_{n}) = x_{1} +x_{2}+..+x_{n} .}\)
2) Obliczyć: \(\displaystyle{ |Lin(Z_{7}^{k},Z_{7}^{l})|}\)
3) Należy wyznaczyć liczbę izomorfizmów liniowych na zbiorze:\(\displaystyle{ Lin(Z_{7}^{k},Z_{7}^{k})}\)
Bardzo proszę o pomoc
-- 4 lut 2014, o 16:15 --
hmm spróbuję przedstawić zadanie 3.
Jeżeli istnieje \(\displaystyle{ dim(V) = n}\) to istnieje izomorfizm liniowy równy \(\displaystyle{ F:V \rightarrow \mathbb R^{n}}\)
Niech \(\displaystyle{ \beta =\left\{ a_{7}..a{k}\right\}}\)będzie pewną bazą \(\displaystyle{ V}\) którą definiujemy wzorem:\(\displaystyle{ F:V \rightarrow \mathbb R^{n}}\) wzorem:
\(\displaystyle{ F(v) = v( \beta )}\)
to znaczy \(\displaystyle{ F(v)}\) jest układem współrzędnych wektora \(\displaystyle{ v}\) w bazie \(\displaystyle{ \beta}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ F}\) jest izomorfizmem
Od razu widzimy, że funkcja jest \(\displaystyle{ 1 na 1}\) oraz \(\displaystyle{ "na"}\) czyli jest bijekcją (pierwszy warunek mamy zatem spełniony)
2)Dla \(\displaystyle{ v,w\in V}\), \(\displaystyle{ F(v+w)=F(v)+F(w)}\)
\(\displaystyle{ \begin{displaymath}F(v)=[v]_{ \beta }=\left[\begin{array}{c}t_{1}\\.\\.\\t_{k}\end{array}\right]}\) , \(\displaystyle{ \begin{displaymath}F(w)=[w]_{ \beta }=\left[\begin{array}{c}s_{1}\\.\\.\\s_{k}\end{array}\right]}\)
Znaczy to, że \(\displaystyle{ v=\sum t_ib_i, w=\sum s_ib_i}\). Wówczas \(\displaystyle{ v+w=\sum(t_i+s_i)b_i}\), zatem
\(\displaystyle{ \begin{displaymath}F(v+w)=[v+w]_{ \beta }=\left[\begin{array}{c}t_{1}+s_{1}\\.\\.\\t_{k}+s_{k}\end{array}\right]}\)
Widzimy, że \(\displaystyle{ F(v+w)=F(v)+F(w)}\).
Warunek \(\displaystyle{ F(tv)=tF(v)}\) sprawdzamy podobnie.
Zatem wniosek z tego jest taki, że dwie przestrzenie tego samego wymiaru są izomorficzne.