Współrzędne wektora w nieznanych bazach?

[macmil]

Witam

Mam takie zadanie:

Dane są przekształcenia liniowe \(\displaystyle{ \varphi :V\rightarrow W,\quad \psi :W\rightarrow Z}\).

Wiadomo też, że \(\displaystyle{ M(\varphi )_{ A }^{ B }=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}}\) oraz \(\displaystyle{ M(\psi )_{ B }^{ C }=\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}}\) w pewnych bazach \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\), \(\displaystyle{ C}\) przestrzeni \(\displaystyle{ V}\), \(\displaystyle{ W}\), \(\displaystyle{ Z}\), odpowiednio.

Niech \(\displaystyle{ \alpha \in V}\) ma w bazie \(\displaystyle{ A}\) współrzędne \(\displaystyle{ 1,-1,3,-2}\).

Należy znaleźć współrzędne wektora \(\displaystyle{ \varphi (\alpha )}\) w bazie \(\displaystyle{ B}\) oraz współrzędne wektora \(\displaystyle{ (\psi \circ \varphi )(\alpha )}\) w bazie \(\displaystyle{ C}\).

Nie mam pojęcia jak się do tego zabrać, szukałem wskazówek w paru źródłach, nic wielce przydatnego nie znalazłem...

[Sambard]

Wystarczy pomnożyć macierz odwzorowania razy kolumnę współrzędnych wektora z dziedziny.
\(\displaystyle{ \varphi (\alpha )=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ (\psi \circ \varphi )(\alpha )=M(\psi )_{ B }^{ C }\cdot \varphi ( \alpha )}\)
Wyniki będą odpowiednio w bazie \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\).

[macmil]

Super, bardzo dziękuję!