Jak wykazać, że istnieje zawsze rozwiązanie

[matinf]

Witam,
\(\displaystyle{ a \in \RR \setminus \{0\}}\)

Wykazać, że dla każdego \(\displaystyle{ a}\) równanie ma dwa różnie pierwiastki zespolone wzajemnie sprzężone.

\(\displaystyle{ z^2 + a|z| + a^2 = 0}\)

[kropka+]

Rozpisz sobie \(\displaystyle{ z=x+yi}\). wtedy po lewej masz liczbę zespoloną, a po prawej rzeczywistą. Stąd wynika, że \(\displaystyle{ xy=0}\). Dalej już łatwo.

[matinf]

No nie wiem czy tak łatwo.

Nie wiem jak wnioskować trochę. Możemy rozpatrzeć 3 przypadki

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0\\ y=0\end{cases}}\)
Czyli liczby zespolone postaci\(\displaystyle{ 0 + 0i.}\)
Po podstawieniu wychodzi \(\displaystyle{ a^2 = 0}\). Na pewno o to nam chodzi ?
I trochę trudno tutaj wnioskować, ponieważ a nie może być zerem, tak więc \(\displaystyle{ x=y=0}\) nie są pierwiastkami. Czyli na razie sytuacja Ok. tzn, po prostu chyba Wykluczone jest, że \(\displaystyle{ x=y=0}\) ponieważ okazałoby się, że \(\displaystyle{ a = 0}\), a to jest niemożliwe z założenia.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0\\ y \neq 0\end{cases}}\)
Wówczas \(\displaystyle{ -y^2 + a|y| + a^2 = 0}\)
I z tego można zrobić dwa podprzypadki:
\(\displaystyle{ y \ge 0}\)
Wtedy \(\displaystyle{ -y^2 + ay + a^2 = 0}\)
Ponadto \(\displaystyle{ \Delta = 5a^2 > 0}\),
Wówczas,
\(\displaystyle{ y_1 = \frac{-a-a\sqrt{5}}{-2}}\)
\(\displaystyle{ y_2 = \frac{-a+a\sqrt{5}}{-2} < 0.}\)
Czyli \(\displaystyle{ y_2}\) odpada. Mamy więc:
Konsekwentnie mamy, że:
\(\displaystyle{ z_1 = (0, \frac{-a-a\sqrt{5}}{-2}i)}\)
Niech teraz \(\displaystyle{ y < 0}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ -y^2 - ay + a^2 = 0}\)
\(\displaystyle{ y^2 + ay - a^2 = 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 5a^2}\)
\(\displaystyle{ y_1 = \frac{a + a\sqrt{5}}{2} > 0}\)
\(\displaystyle{ y_2 = \frac{a - a\sqrt{5}}{2}}\)
\(\displaystyle{ z_1 = (0, \frac{-a-a\sqrt{5}}{-2}i) = (0, \frac{-a + a\sqrt{5}}{2}i)}\)
\(\displaystyle{ z_2 = (0, \frac{a - a\sqrt{5}}{2})}\)
Czyli widać, że liczby są \(\displaystyle{ z_1 \neq z_2}\) oraz \(\displaystyle{ \overline{z_1} = z_2}\)


Czyli dla tego przypadku też jest Ok.

Czy dotychczas prawidłowo rozwiązuje ?

[kropka+]

Nie wyciągaj \(\displaystyle{ a}\) spod pierwiastka, bo nie wiesz jaki ma znak. Reszta dobrze.

[matinf]

\(\displaystyle{ y_1 = \frac{-a\sqrt{a^25}}{-2}}\)


Czyli że coś takiego ?
A tam się zamieszałem z tym \(\displaystyle{ x=y=0}\) - ok wnioskowałem?
Ponadto ostatni przypadek nie da w ogóle rozwiązań.
Ok ?

[kropka+]

We wzorze powyżej zjadłeś minusa.
\(\displaystyle{ x=y=0}\) dobrze.