eliminacja Gaussa

[cuube]

Mam taki układ równań.

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+2y+3z-2t+u=4\\3x+6y+5z-4t+3u=5\\x+2y+7z-4t+u=11\\2x+4y+2z-3t-3u=6 \end{array}}\)

I teraz tak - stosuje sobie eliminacje Gaussa i mi ładnie wychodzi, że rząd obydwu macierzy jest równy 3. 5 niewiadomych - 3 rzędy = 2 parametry. Zza parametry chciałbym sobie przyjąć x i y, ale zawsze mi wychodzi inny wynik niż jest w odpowiedziach. :/
Mógłby mi ktoś wyjaśnić jak teraz obliczyć z, t, u, oraz parametry?
Ja to robię tak: parametrów w ogóle nie wyznaczam (bo i tak mi wyjdą z układów równań?). Teraz z pierwszego równania wyznaczam sobie z, z drugiego t, a z trzeciego u. Później z czwartego równania wyliczam sobie z, t oraz u. Ale wynik niestety mam inny niż w odpowiedziach. :/ Mógłby ktoś mi to rozwiązać, żeby mi pokazać jak to się robi i ewentualnie objaśnić? Z góry dzięki.

[Lukasz_C747]

Jeśli dobrze Cię zrozumiałem, to przekształcasz wyjściowy układ równań, czyli robisz źle (właśnie po to bawimy się w macierze żeby tego uniknąć). Nie znam niestety LaTex'a więc musze ci rozwiązanie opisać "ręcznie".
Bierzesz sobie macierz [A|B] i stosując metodę eliminacji Gauss'a upraszczasz do jak najprostszej postaci, pamiętając, że liniowo zależne wiersze można skreślić i nie brać pod uwagę w dalszych obliczeniach. Z tej macierzy po przekształceniach ponownie robisz układ równań, z którego już łatwo powinno wyjść rozwiązanie (w tym zadaniu wyszły trzy równania wiążące po 2-3 zmienne).

[cuube]

Hm... rozumiem, ale weźmy pod uwagę taki układ równań.

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x-2y+5z=0\\2x-y+z=1 \end{array}}\)

I po uproszczeniu w macierzy będę miał:
1 -2 5 0
0 0 0 1
Rząd wychodzi dwa, ale 0 = 1 ??? Układ powinien być sprzeczny, a mimo tego da się w nim wyliczyć pierwiastki - licząc z pierwotnych równań. :/

[Lukasz_C747]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-2&5&|0\\2&-1&1&|1\end{array}\right]

ft[\begin{array}{cccc}1&-2&5&|0\\0&3&-9&|1\end{array}\right]

ft[\begin{array}{cccc}1&-2&5&|0\\0&1&-3&|1/3\end{array}\right]

ft[\begin{array}{cccc}1&0&-1&|2/3\\0&1&-3&|1/3\end{array}\right]}\)

Sorry za brak oznaczeń, ale chyba się połapiesz jakie przekształcenia zastosowałem. Przyjmujesz z jako parametr i gotowe. Nie za bardzo rozumiem jak doszedłeś do swojego uproszczenia.

[cuube]

A racja... Po prostu przekształceń dokonywałem również na kolumnach, ale tak nie można (stosując Gaussa). Dzięki wielki - teraz już czaje.