Zakłdam tu drugi temat, poprzedni dotyczył liczb zespolonych.
1. Jeśli \(\displaystyle{ \phi: \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4: x-2y = z + t} \rightarrow \mathbb{R}[x] _{2}\}}\) jest przekształceniem liniowym, to z jego różnowartościowości wynika, że jest "na".
Zakładam, że tak. Z warunku wynika, że \(\displaystyle{ dimV = 3}\). Z różnowartościowości wynika, że \(\displaystyle{ dimKer\phi = 0}\). Stąd \(\displaystyle{ dimIm\phi = 3 = dim\mathbb{R}[x] _{2}}\). Zgadza się?
2. Zbiór \(\displaystyle{ \{w \in \mathbb{R}[x] _{2} : w''(-1) = 0\}}\) jest przestrzenią liniową.
Powiedziałbym, że tak, ale nie jestem pewien. Pochodna 0 to 0, dodane do siebie 2 wielomiany zachowają tą właściwość.
3. Ile wynosi wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ \{w \in \mathbb{R}[x] _{2} : w''(1) = w(1)\}}\)?
Moje rozumowanie jest takie: \(\displaystyle{ w(x) = ax^2+bx+c \Rightarrow w''(x) = 2a}\) Więc \(\displaystyle{ 2a = a + b + c \Rightarrow a = b + c}\). Wymiar \(\displaystyle{ \mathbb{R}[x] _{2}}\) jest 3, ale jeden wymiar się sparametryzował, zostają więc 2. Czy 2 to poprawna odpowiedź?