Witam,
Znaleźć rzut ortogonalny wektora \(\displaystyle{ x}\) na płaszczyznę określoną:
\(\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3 = 0}\)
\(\displaystyle{ \vec{x} = [-2,1,4]}\)
No i nawet jak znajdę sobie bazę ortonormalną tej przestrzeni to nie wiem jak wektor \(\displaystyle{ x}\) rzucić ortogonalnie na tą przestrzeń, wszak nie mogę go nawet wziąć do ręki....
Obliczanie rzutu ortogonalnego
Obliczanie rzutu ortogonalnego
Skorzystaj z ortogonalizacji Grama-Schmidta, aby wyznaczyć bazę ortonormalną (\(\displaystyle{ u _{1}, u _{2}}\),...) . Gdy będziesz miał wyznaczone wektory tejże bazy, skorzystaj ze wzoru:
u*=(\(\displaystyle{ u\circ u _{1})u _{1} + (u\circ u _{2})u _{2}}\) ) itd, w zależności od tego ile masz wektorów bazowych.
u*=(\(\displaystyle{ u\circ u _{1})u _{1} + (u\circ u _{2})u _{2}}\) ) itd, w zależności od tego ile masz wektorów bazowych.
Obliczanie rzutu ortogonalnego
Rzut ortogonalny wektora jest wektorem \(\displaystyle{ u ^{*}}\) . Aby go obliczyć należy pomnożyć wektor \(\displaystyle{ u}\) skalarnie z wektorem \(\displaystyle{ u _{1}}\), później wektor \(\displaystyle{ u _{1}}\) przez otrzymany skalar, a z każdym następnym wektorem bazowym zrobić dokładnie to samo. Suma wektorów będzie Twoim rzutem ortogonalnym wektora. Przy czym \(\displaystyle{ u}\) jest Twoim wektorem \(\displaystyle{ x}\).
-
matinf
- Użytkownik
- Posty: 1922
- Rejestracja: 26 mar 2012, o 18:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 695 razy
- Pomógł: 4 razy
Obliczanie rzutu ortogonalnego
No ok, no to tak:
Liczę bazę przestrzeni na którą rzucam:
\(\displaystyle{ [-x_2 - x_3; x_2; x_3] = x_2[-1;1;0] + x_3[-1;0;1]}\)
Czyli bazą przestrzeni jest:
\(\displaystyle{ [-1;1;0] i [-1;0;1]}\)
W takim razie ortogonalizuję go (efekt od razu):
\(\displaystyle{ [-1;1;0]}\) i \(\displaystyle{ [\frac12; -\frac12; 1]}\)
Normalizuję:
\(\displaystyle{ [-\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{1}{\sqrt{2}}; 0]}\) \(\displaystyle{ [-frac{6}{sqrt{6}}; -frac{6}{sqrt{6}}; frac{sqrt{6}}{3}}}\)
No i są normalne już, teraz tylko wykorzystać wzór:
tzn,
\(\displaystyle{ u^* = \left\langle \vec{x}, \vec{u_1}\right\rangle \vec{x} + \vec{x} \left\langle \vec{x}, \vec{u_2}\right\rangle \vec{x}}\)
Czy to jest prawidłowy zarys rozwiązania ?
Liczę bazę przestrzeni na którą rzucam:
\(\displaystyle{ [-x_2 - x_3; x_2; x_3] = x_2[-1;1;0] + x_3[-1;0;1]}\)
Czyli bazą przestrzeni jest:
\(\displaystyle{ [-1;1;0] i [-1;0;1]}\)
W takim razie ortogonalizuję go (efekt od razu):
\(\displaystyle{ [-1;1;0]}\) i \(\displaystyle{ [\frac12; -\frac12; 1]}\)
Normalizuję:
\(\displaystyle{ [-\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{1}{\sqrt{2}}; 0]}\) \(\displaystyle{ [-frac{6}{sqrt{6}}; -frac{6}{sqrt{6}}; frac{sqrt{6}}{3}}}\)
No i są normalne już, teraz tylko wykorzystać wzór:
tzn,
\(\displaystyle{ u^* = \left\langle \vec{x}, \vec{u_1}\right\rangle \vec{x} + \vec{x} \left\langle \vec{x}, \vec{u_2}\right\rangle \vec{x}}\)
Czy to jest prawidłowy zarys rozwiązania ?