Obliczanie wyznacznika

[matinf]

Witam,

AU

PZB4b8U.gif (2.78 KiB) Przejrzano 66 razy

Widać, jakie wykonuję przekształcenie - ostatnią (lewą kolumnę) dodaję do każdej innej kolumny po razie otrzymując to co widać (to po strzałce).
Będziemy zmierzać do obliczenia wyznacznika w zależności od n.
Potrzebuję na razie informacji czy ten krok jest poprawny.

[niebieska_biedronka]

Czwarty wiersz, czwarta kolumna - tam jeszcze powinno być \(\displaystyle{ 0}\). W kolejnej kolumnie będzie \(\displaystyle{ 8}\) ale ogólnie schemat dobry, zdaje się że do końca już niedaleko

[matinf]

Tak, oczywiście masz rację:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
0 & 2 & 2 & 2 & ... & 2 & 1 \\
0 & 0 & 4 & 4 & ... &4 &2 \\
0 & 0 &0 & 6 & ... & 6 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0 &... & 8 & 4\\
... &... & ... & ... & ... &... &... \\
0 & 0 &0 & 0 & ... & 0 & n-1\\
-2n & -2n & -2n & -2n &-2n &-2n & -n
\end{bmatrix}}\)
Teraz będę chciał rozwinąć z Laplace'a po 1szej kolumnie. Wszystko się zzeruje - prawie wszystko.

Wtedy dostaniemy,
\(\displaystyle{ det_n = (-1)^{n+1}(2n)^{n+1} \cdot \det\begin{bmatrix}
2 & 2 & 2 & ... & 2 & 1 \\
0 & 4 & 4 & ... &4 &2 \\
0 &0 & 6 & ... & 6 & 3\\
0 & 0 & 0 &... & 8 & 4\\
... & ... & ... & ... &... &... \\
0 &0 & 0 & ... & 0 & n-1

\end{bmatrix} = det_n = (-1)^{n+1}(2n)^{n+1} \cdot (2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \dots \cdot (n-1)}\)

Ok ?

[niebieska_biedronka]

coś mi tu nie pasuje, ale może źle myślę... względem której kolumny rozwijasz? pierwszej?

[matinf]

Tak, względem 1szej kolumny. Trochę źle wzór zastosowałem, ale teraz poprawiam - nie dużo się zmienia.
\(\displaystyle{ det_n = (-1)^{n+1}(-2n) \cdot \det\begin{bmatrix} 2 & 2 & 2 & ... & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 4 & ... &4 &2 \\ 0 &0 & 6 & ... & 6 & 3\\ 0 & 0 & 0 &... & 8 & 4\\ ... & ... & ... & ... &... &... \\ 0 &0 & 0 & ... & 0 & n-1 \end{bmatrix} = det_n = (-1)^{n+1}(-2n) \cdot (2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \dots \cdot (n-1)}\)

[niebieska_biedronka]

no, teraz wygląda na to że jest OK