Dla jakich parametrów a suma jest prosta

[matinf]

Witam,
\(\displaystyle{ \vec{x} = [1,2,-3,-1] \\
\vec{y} = [2,-2,5,2] \\
\vec{z} = [-1,10,a,7] \\
a \in \RR}\)
Niech \(\displaystyle{ W = span(\vec{x}, \vec{y}) \\}\)
\(\displaystyle{ V = span(\vec{z})}\)

Dla jakich \(\displaystyle{ a}\) mamy, że suma \(\displaystyle{ W+V}\) jest prosta?
Mamy, że:
\(\displaystyle{ (V \cap W) \subset W \wedge (V\cap W) \subset V}\)
Z tego drugiego:
\(\displaystyle{ \dim(W\capV) \le \dim(V) = 1}\)

Wobec tego są dwie możliwości.
Albo wymiar części wspólnej jest \(\displaystyle{ 1}\), albo jest \(\displaystyle{ 0}\).
I my żądamy, aby wymiar był zerem - takie parametry trzeba dobrać.

Czyli generalnie chodzi o to, żeby żaden wektor który należy do przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) nie należał do \(\displaystyle{ W}\).

Konsekwentnie, oczekujemy, aby wektor z nie dał się wyrazić w bazie przestrzeni \(\displaystyle{ W}\).
Sprawdźmy, więc:

\(\displaystyle{ \alpha[1,2,-3,-1] + \beta[2,-2,5,2] = [-1,10,a,7]}\)
Otrzymamy, z tego układ równań, z czego \(\displaystyle{ 3}\) równanie jest opatrzone parametrem \(\displaystyle{ a}\).
Omijając to 3cie równanie dojdziemy do wniosku, że
\(\displaystyle{ \alpha = 3 \\
\beta = -2}\)
Ale przy tych wynikach \(\displaystyle{ a = -19.}\)
I wtedy układ ma rozwiązanie. Ale gdyby..... Gdybyśmy powiedzieli, że \(\displaystyle{ a}\) jest wszystkim tylko nie nie \(\displaystyle{ -19,}\)
tzn \(\displaystyle{ a \in \RR \setminus \{-19\}}\)
To wtedy ów układ nie ma rozwiązań, tak więc część wspólna jest wektorem zerowym. Czyli suma będzie prosta. Ok ?

[norwimaj]

Z tego drugiego:
\(\displaystyle{ \dim(W\capV) \le \dim(V) = 1}\)

Nie \(\displaystyle{ \dim(W\capV)}\), tylko \(\displaystyle{ \dim(W\cap V)}\). (zły zapis w \(\displaystyle{ \LaTeX}\)-u)

\(\displaystyle{ \alpha[1,2,-3,-1] + \beta[2,-2,5,2] = [-1,10,a,7]}\)
Otrzymamy, z tego układ równań, z czego \(\displaystyle{ 3}\) równanie jest opatrzone parametrem \(\displaystyle{ a}\).
Omijając to 3cie równanie dojdziemy do wniosku, że
\(\displaystyle{ \alpha = 3 \\
\beta = -2}\)

Dla \(\displaystyle{ \alpha = 3,\beta = -2}\) pierwsze dwa równania są spełnione, ale czwarte nie, gdyż \(\displaystyle{ 3\cdot(-1)+(-2)\cdot2\ne7}\).

[matinf]

Ehh, bo się pomyliłem przy pisaniu posta - tam nie jest 7, tylko -7.

Wtedy równania są zgodne.

Czy teraz będzie w porządku ?

[norwimaj]

Tak.