Mam przedstawiony proces rozwiązywania równań liniowych, którego do końca nie rozumiem, więc proszę o wyjaśnienie.
Dana jest macierz \(\displaystyle{ A}\) w formie "schodkowej". \(\displaystyle{ r}\) jest ostatnim wierszem, w którym nie ma samych zer. Dla ułatwienie "pivoty" znajdują się w pierwszych \(\displaystyle{ r}\) kolumnach. Jeżeli dobrze zrozumiałem to ostatnie zdanie oznacza, że schodki są regularne czyli z każdym wierszem mamy o jedno zero więcej po lewej stronie, tak? Dalej, \(\displaystyle{ b_i}\) to kolejno prawa strona równania. \(\displaystyle{ m}\) to liczba wierszy, a \(\displaystyle{ n}\) to liczba kolumn. Jeżeli \(\displaystyle{ b_{r+1} = ... = b_m = 0}\) to istnieje rozwiązanie. \(\displaystyle{ x_{r+1}, ..., x_n}\) to wolne zmienne, \(\displaystyle{ x_1, ..., x_r}\) to "związane" zmienne, które są zależne od wybranych wolnych zmiennych. \(\displaystyle{ k:= n-r}\) to liczba wolnych zmiennych, wybieramy \(\displaystyle{ \lambda_1, ..., \lambda_k\in \RR}\) jako parametr i wstawiamy \(\displaystyle{ x_{r+1} = \lambda_1, x_{r+2} = \lambda_2, ..., x_n = \lambda_k}\). Do obliczenia \(\displaystyle{ x_1, ..., x_r}\) zaczynamy z \(\displaystyle{ r}\)-tym równaniem i otrzymujemy równanie \(\displaystyle{ a_{rr}x_r + a_{r,r+1}\lambda_1 + ... + a_{rn}\lambda_k = b_r}\), a po przekształceniu \(\displaystyle{ x_r = \frac{b_r -a_{r,r+1}\lambda_1 - ... - a_{rn} \lambda_k}{a_{rr}}}\). I w tym momencie pojawia się problem. Według autora wstawiamy w \(\displaystyle{ (r-1)}\)-te równanie powyższy \(\displaystyle{ x_r}\) i otrzymujemy
\(\displaystyle{ x_{r-1} = d_{r-1, r-1}b_{r-1} + d_{r-1, r}b_r +c_{r-1, 1}\lambda_1 + ... + c_{r-1, k}\lambda_k}\). Nie mam pojęcia skąd to równanie się wzięło, a dokładnie czym są \(\displaystyle{ d}\) i \(\displaystyle{ b}\). Wszystkie współczynniki to przecież \(\displaystyle{ a}\) z odpowiednim indeksem.