Zbadać czy podane układy wektorów są bazami przestrzeni lin

[ZaKooN]

Zbadać czy podane układy wektorów są bazami wskazanych przestrzeni liniowych:

a) \(\displaystyle{ {(1,2,0),(-1,0,3),(0,-2,-3)},R^{3}}\)
c) \(\displaystyle{ {(1,-1,0,2),(1,0,3,0),(0,1,3,0),(0,0,0,1)},R^{4}}\)


Wystarczy tylko policzyć wyznacznik utworzony z tych wektorów i jeżeli \(\displaystyle{ detA \neq 0}\) to są bazami? Czy coś jeszcze?

[chris_f]

Wystarczy, ponieważ gdyby się okazało, że są liniowo niezależne (wyznacznik rożny od zera), to ich liczba równa jest wymiarowi przestrzeni, czyli generują całą przestrzeń.

[ZaKooN]

Mógłbyś trochę bardziej wytłumaczyć to generowanie przestrzeni? Nie do końca to rozumiem chyba.

[chris_f]

To znaczy, że np. ten pierwszy układ trzech wektorów rozpina przestrzeń. Inaczej mówiąc dowolny wektor z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) da sie przedstawić jako kombinacja liniowa trzech podanych.

Dokładniej, jeżeli oznaczymy te podane wektory przez \(\displaystyle{ \vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3}}\), to biorąc dowolny wektor \(\displaystyle{ \vec{v}}\) znajdziemy skalary (liczby) \(\displaystyle{ \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3}\), takie że

\(\displaystyle{ \vec{v}=\alpha_1\vec{u_1}+\alpha_2\vec{u_2}+\alpha_3\vec{u_3}}\)

Sprowadza się to (po podstawieniu współrzędnych) do rozwiązania układu równań \(\displaystyle{ 3\times3}\) o wyznaczniku głównym zbudowanym ze współrzędnych wektorów. A skoro ten wyznacznik jest różny od zera, to układ jest Cramerowski i ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Analogicznie z drugim zestawem wektorów i czterema współrzędnymi.

Tyle, że w tym przypadku mamy to zagwarantowane, bo liczba wektorów w bazie jest równa wymiarowi przestrzeni, a wymiar np. \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) wynosi \(\displaystyle{ 3}\), a my mamy właśnie trzy wektory.