Mam zadanie. Znaleźć wartości własne i wektory własne macierzy reprezentującej:
a) symetrię przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) względem prostej
b) symetrię przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) względem płaszczyzny
c) rzut przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) na prostą
d) rzut przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) na płaszczyznę.
Generalnie wiem, że szukamy takich wektorów, że \(\displaystyle{ f(v)=\lambda v}\).
No i dla \(\displaystyle{ \RR^2}\) nie miałem problemów. Ale w \(\displaystyle{ \RR^3}\) mam problem. Czy dobrze myślę, że w \(\displaystyle{ \RR^3}\) będzie przekształcenia te reprezentować macierz \(\displaystyle{ 3x3}\)? Wtedy np. dla pierwszego przypadku: biorę wektor zawarty w prostej. Stąd mam pierwszy wektor własny, \(\displaystyle{ 0}\). Podobnie biorę wektor prostopadły do prostej, mam stąd wartość własną \(\displaystyle{ -1}\), ale skąd wziąć trzecią wartość własną. Nie widzę tego.
Oczywiście dla b znalazłem dokładnie takie same dwie wartości, zaś dla c i d: 0 oraz, 1. Trzecich nie widzę. Proszę o pomoc, z góry dziękuję za pomoc.