układ równań do rozwiązania

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
leszczu450
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4414
Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1589 razy
Pomógł: 364 razy

układ równań do rozwiązania

Post autor: leszczu450 »

Cześć!

Aż wstyd się przyznać ale nie umiem rozwiązać tego układu równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 1 + \lambda e^{x+y} - \lambda y=0 \\ 1 + \lambda e^{x+y} - \lambda x \\ e^{x+y} -xy -1 =0 \end{cases}}\)

Dodam, że \(\displaystyle{ \lambda}\) to mnożniki Lagrange'a. Czy mogę one być równe zero?

Z góry dziękuję za wskazówki i pomoc.
Awatar użytkownika
cosinus90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5030
Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 777 razy

układ równań do rozwiązania

Post autor: cosinus90 »

Wyznacz z trzeciego równania \(\displaystyle{ e^{x+y}}\), powinno zadziałać.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

układ równań do rozwiązania

Post autor: yorgin »

Albo odejmij pierwsze równanie od drugiego. Dostaniesz, że \(\displaystyle{ \lambda =0}\) (układ sprzeczny), albo \(\displaystyle{ x=y}\).
Awatar użytkownika
leszczu450
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4414
Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1589 razy
Pomógł: 364 razy

układ równań do rozwiązania

Post autor: leszczu450 »

cosinus90, wyznaczam i wychodzi mi :

\(\displaystyle{ \begin{cases} 1+ \lambda xy + \lambda - \lambda y =0 \\ 1+ \lambda xy + \lambda - \lambda x =0 \end{cases}}\)

A to sprowadza sie do tego, że \(\displaystyle{ \lambda y= \lambda x}\). I nie wiem jak to ruszyć. Nie mogę sobie bezkarnie podzelic przez lambde bo może jest ona równa zero. Jak działać dalej?



yorgin, po czym wnioskujesz, że jak odejmiemy dwa pierwsze równania to wyjdzie \(\displaystyle{ \lambda=0}\) ? Chyba za mało śpię bo zupełnie nie mam pomysłu na ten układ.



yorgin, no jasne ! Juz widzę !! Zaćmienia doznałem chwilowego : ) Mam zatem , że \(\displaystyle{ x=y}\).


Skoro wiem, że \(\displaystyle{ x=y}\) to wstawiam to do tego równania: \(\displaystyle{ 1 + \lambda(xy+1)- \lambda y =0}\)

Otrzymuję \(\displaystyle{ 1 + \lambda(x^2+1) - \lambda x=0}\) . Zatem \(\displaystyle{ \lambda = \frac{1}{x^2 -x+1}}\). Jak dojśc tutaj do wyniku? Już się gubie. Czuje intuicyjnie, że wynik to będzie \(\displaystyle{ x=0 , y=0}\) i odpwiednia lambda dla nich .
Ostatnio zmieniony 26 sty 2014, o 18:53 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

układ równań do rozwiązania

Post autor: yorgin »

leszczu450 pisze: Otrzymuję \(\displaystyle{ 1 + \lambda(x^2+1) - \lambda x=0}\) . Zatem \(\displaystyle{ \lambda = \frac{1}{x^2 -x+1}}\). Jak dojśc tutaj do wyniku? Już się gubie. Czuje intuicyjnie, że wynik to będzie \(\displaystyle{ x=0 , y=0}\) i odpwiednia lambda dla nich .
\(\displaystyle{ \lambda}\) wyjdzie z przeciwnym znakiem.

Intuicja Cię nie zawodzi, ale żeby formalnie coś zrobić, to podstaw zależność \(\displaystyle{ x=y}\) do warunku, który jest wolny od mnożnika \(\displaystyle{ \lambda}\).
Awatar użytkownika
leszczu450
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4414
Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1589 razy
Pomógł: 364 razy

układ równań do rozwiązania

Post autor: leszczu450 »

yorgin, dzięki ! Bardzo mi pomogłeś. Gdybym mógł, to podzieliłbym się z Tobą czekoladą !
ODPOWIEDZ