Cześć!
Aż wstyd się przyznać ale nie umiem rozwiązać tego układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 1 + \lambda e^{x+y} - \lambda y=0 \\ 1 + \lambda e^{x+y} - \lambda x \\ e^{x+y} -xy -1 =0 \end{cases}}\)
Dodam, że \(\displaystyle{ \lambda}\) to mnożniki Lagrange'a. Czy mogę one być równe zero?
Z góry dziękuję za wskazówki i pomoc.
układ równań do rozwiązania
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
układ równań do rozwiązania
Albo odejmij pierwsze równanie od drugiego. Dostaniesz, że \(\displaystyle{ \lambda =0}\) (układ sprzeczny), albo \(\displaystyle{ x=y}\).
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
układ równań do rozwiązania
cosinus90, wyznaczam i wychodzi mi :
\(\displaystyle{ \begin{cases} 1+ \lambda xy + \lambda - \lambda y =0 \\ 1+ \lambda xy + \lambda - \lambda x =0 \end{cases}}\)
A to sprowadza sie do tego, że \(\displaystyle{ \lambda y= \lambda x}\). I nie wiem jak to ruszyć. Nie mogę sobie bezkarnie podzelic przez lambde bo może jest ona równa zero. Jak działać dalej?
yorgin, po czym wnioskujesz, że jak odejmiemy dwa pierwsze równania to wyjdzie \(\displaystyle{ \lambda=0}\) ? Chyba za mało śpię bo zupełnie nie mam pomysłu na ten układ.
yorgin, no jasne ! Juz widzę !! Zaćmienia doznałem chwilowego : ) Mam zatem , że \(\displaystyle{ x=y}\).
Skoro wiem, że \(\displaystyle{ x=y}\) to wstawiam to do tego równania: \(\displaystyle{ 1 + \lambda(xy+1)- \lambda y =0}\)
Otrzymuję \(\displaystyle{ 1 + \lambda(x^2+1) - \lambda x=0}\) . Zatem \(\displaystyle{ \lambda = \frac{1}{x^2 -x+1}}\). Jak dojśc tutaj do wyniku? Już się gubie. Czuje intuicyjnie, że wynik to będzie \(\displaystyle{ x=0 , y=0}\) i odpwiednia lambda dla nich .
\(\displaystyle{ \begin{cases} 1+ \lambda xy + \lambda - \lambda y =0 \\ 1+ \lambda xy + \lambda - \lambda x =0 \end{cases}}\)
A to sprowadza sie do tego, że \(\displaystyle{ \lambda y= \lambda x}\). I nie wiem jak to ruszyć. Nie mogę sobie bezkarnie podzelic przez lambde bo może jest ona równa zero. Jak działać dalej?
yorgin, po czym wnioskujesz, że jak odejmiemy dwa pierwsze równania to wyjdzie \(\displaystyle{ \lambda=0}\) ? Chyba za mało śpię bo zupełnie nie mam pomysłu na ten układ.
yorgin, no jasne ! Juz widzę !! Zaćmienia doznałem chwilowego : ) Mam zatem , że \(\displaystyle{ x=y}\).
Skoro wiem, że \(\displaystyle{ x=y}\) to wstawiam to do tego równania: \(\displaystyle{ 1 + \lambda(xy+1)- \lambda y =0}\)
Otrzymuję \(\displaystyle{ 1 + \lambda(x^2+1) - \lambda x=0}\) . Zatem \(\displaystyle{ \lambda = \frac{1}{x^2 -x+1}}\). Jak dojśc tutaj do wyniku? Już się gubie. Czuje intuicyjnie, że wynik to będzie \(\displaystyle{ x=0 , y=0}\) i odpwiednia lambda dla nich .
Ostatnio zmieniony 26 sty 2014, o 18:53 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
układ równań do rozwiązania
\(\displaystyle{ \lambda}\) wyjdzie z przeciwnym znakiem.leszczu450 pisze: Otrzymuję \(\displaystyle{ 1 + \lambda(x^2+1) - \lambda x=0}\) . Zatem \(\displaystyle{ \lambda = \frac{1}{x^2 -x+1}}\). Jak dojśc tutaj do wyniku? Już się gubie. Czuje intuicyjnie, że wynik to będzie \(\displaystyle{ x=0 , y=0}\) i odpwiednia lambda dla nich .
Intuicja Cię nie zawodzi, ale żeby formalnie coś zrobić, to podstaw zależność \(\displaystyle{ x=y}\) do warunku, który jest wolny od mnożnika \(\displaystyle{ \lambda}\).
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
układ równań do rozwiązania
yorgin, dzięki ! Bardzo mi pomogłeś. Gdybym mógł, to podzieliłbym się z Tobą czekoladą !