Mam funkcję \(\displaystyle{ f\left( \left[ x, y, z, t\right] \right) = \left[ 2x+3y+z, 4y + z - t\right] \in Lin\left( R^{4}, R^{2} \right)}\)
Prosiłbym o sprawdzenie, szczególnie metody wyznaczania macierzy funkcji i zbiory jądra i obrazu
1. Wyznaczam macierz tej funkcji. (metoda - współczynniki przy odpowiednich x, y, z ,t na współrzędne wektora wynikowego zapisuje wierszami w macierzy)
x y z t
2 3 1 0
0 4 1 -1
2. Wyznaczam jądro i obraz funkcji liniowej
\(\displaystyle{ Ker(f) = \left\{ \left[ x, y, z ,t\right]: 2x+3y+z=0 \wedge 4y+z-t=0 \right\}}\) gdzie dowolne \(\displaystyle{ x,y,z,t \in R}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+3y+z=0 \\ 4y+z-t=0 \end{cases}}\)
liczę to z macierzy, wychodzą mi dwa parametry:
\(\displaystyle{ y= \alpha}\)
\(\displaystyle{ z= \beta}\)
więc
\(\displaystyle{ Ker(f)=\left\{ \left[ \frac{-3 \alpha - \beta }{2}, \alpha, \beta, 4\alpha+ \beta \right]: \alpha , \beta \in R \right\}}\)
\(\displaystyle{ Im(f)=\left\{ \left[ p, q\right] \in R^{2} : 2x+3y+z=p \wedge 4y+z-t=q dla dowolnych x,y,z,t \in R \right\} = \left\{ \left[ 2x+3y+z, 4y+z-t\right]: x,y,z,t \in R \right\}}\)