Obliczanie objętości czworościanu

[peterking]

Hej!

Mam problem z jednym zadaniem. Brzmi ono następująco:

'Oblicz objętość czworościanu zbudowanego na wektorach

\(\displaystyle{ \vec{A} = \vec{p} - \vec{q} + \vec{r}}\)
\(\displaystyle{ \vec{B} = \vec{2p} + \vec{q} - \vec{r}}\)
\(\displaystyle{ \vec{C} = \vec{p} + \vec{2q} - \vec{3r}}\)

jeżeli objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach \(\displaystyle{ \vec{p}}\), \(\displaystyle{ \vec{q}}\), \(\displaystyle{ \vec{r}}\) wynosi 4

[a4karo]

iloczyn mieszany i jego wlasciwosci

[peterking]

Dobra, czyli jak robię to tak

1) pierw liczę \(\displaystyle{ \left( bxc\right)}\) i wychodzi

\(\displaystyle{ \left( bxc\right) = \vec{3r} + \vec{5q} - \vec{p}}\)
2) liczę \(\displaystyle{ a \cdot d}\)

\(\displaystyle{ d}\) to wektor \(\displaystyle{ bxc}\)

wychodzi:
\(\displaystyle{ \left( a\cdot d\right) = \vec{-p \cdot p} - \vec{5q \cdot q} + \vec{3r \cdot r}}\)

i nie wiem co dalej zrobić

[a4karo]

Chyba założyłeś, że wektory p,q i r są wzajemnie prostopadle, a to nie musi być prawda.
Spróbuj rozpisać iloczyn mieszany a,b,c w języku p,q,r

[peterking]

No właśnie nie wiem jak inaczej zrobić to zadanie, jeżeli wektory nie są prostopadłe

Mógłbyś wytłumaczyć co mam zrobić krok po kroku?

Z góry dzięki.

[a4karo]

\(\displaystyle{ (\vec{b}\times\vec{c})\cdot\vec{a}=(\vec{b}\times\vec{c})\cdot\vec{p}-(\vec{b}\times\vec{c})\cdot\vec{q}+(\vec{b}\times\vec{c})\cdot\vec{r}}\).

Zrób tak dalej z wektorami \(\displaystyle{ \vec{b},\ \vec{c}}\) i pomyśl co wiesz o iloczynach typu \(\displaystyle{ (\vec{p}\times\vec{q})\cdot\vec{p}}\)