f jest monomorfizmem wykaż, że

[MathMaster]

Witam

Mam takie zadanie

Niech \(\displaystyle{ \displaystyle V}\)oraz \(\displaystyle{ \displaystyle W}\) będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem \(\displaystyle{ \displaystyle \mathbb{K}}\). Niech \(\displaystyle{ \displaystyle \varphi \colon V \to W}\) będzie monomorfizmem. Wykazać, że:
1. \(\displaystyle{ \displaystyle \dim V\le \dim W}\)
2. Jeżeli \(\displaystyle{ \displaystyle \dim V= \dim W}\), to odwzorowanie\(\displaystyle{ \displaystyle \varphi}\) jest izomorfizmem.
3. Niech wektory \(\displaystyle{ \displaystyle v_1,\ldots,v_n}\) będą bazą przestrzeni \(\displaystyle{ \displaystyle V}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \displaystyle \varphi(v_1),\ldots,\varphi(v_n)}\) generują podprzestrzeń \(\displaystyle{ \displaystyle \Img\varphi\subset W}\).
4. Wektory \(\displaystyle{ \displaystyle \varphi(v_1),\ldots,\varphi(v_n)}\) są liniowo niezależne w przestrzeni \(\displaystyle{ \displaystyle W}\).
5. Możemy wybrać wektory \(\displaystyle{ \displaystyle w_{n+1},\ldots, w_{n+k}}\), gdzie \(\displaystyle{ \displaystyle k=\dim W - \dim V}\), w ten sposób, że wektory\(\displaystyle{ \displaystyle \varphi(v_1),\ldots,\varphi(v_n),w_{n+1},\ldots, w_{n+k}}\) będą stanowiły bazę przestrzeni \(\displaystyle{ \displaystyle W}\).

Przyznam, że zadanie przerosło moje możliwości mógłby mi ktoś wszystko wytłumaczyć krok po kroku.

[bartek118]

1. Skoro jest to monomorfizm i \(\displaystyle{ v_1, \ldots, v_n}\) bazą \(\displaystyle{ V}\), to układ \(\displaystyle{ w_1 = \varphi(v_1), \ldots, w_n = \varphi(v_n)}\) jest bazą podprzestrzeni \(\displaystyle{ W}\), zatem \(\displaystyle{ \dim V \leq \dim W}\).
2. Skoro \(\displaystyle{ \dim V = \dim W}\), to z poprzedniej obserwacji mamy \(\displaystyle{ \varphi(V) = W}\), zatem jest to funkcja na - czyli izomorfizm.
3. Skorzystałem z tego w 1. - pokaż, że te obrazy są liniowo niezależne.
4. Wykorzystałem to w 3.
5. Wykorzystaj twierdzenie Steiniza.