Pytania dotyczące liniowej niezalezności i przestrzeni lin.

[squared]

Witam. Mam problem ze zrozumieniem pewnych zagadnień/twierdzeń dotyczących liniowej niezależności i przestrzeni liniowych. No kilka takich, zagadnień mam. Proszę o wskazówki, kiedy takie zależności zachodzą.

np. \(\displaystyle{ A,B}\) - liniowo niezależne. Czy \(\displaystyle{ A \cup B, A \cap B}\) są liniowo niezależne.

Na początku myślałem, że suma jest liniowo niezależna, teraz myslę, że prawdziwe tylko gdy \(\displaystyle{ A \subset B}\) lub na odwrót. Ale nie wiem czy to dobry tok myślenia. Drugie chyba nieprawdziwe?

Inne pytanie: \(\displaystyle{ A}\) liniowo niezależne i \(\displaystyle{ B \subset A}\) to B - liniowo niezależne. Generalnie to prawie to samo co powyżej, zatem odpowiedź: tak? (a dla drugiej możliwości? A - liniowo niezależne, \(\displaystyle{ A \subset B}\), to B - liniowo niezależne? Też prawda?).

No i coś czego w ogóle nie rozumiem, nie wiem co to i nie umiem znaleźć informacji na ten temat. Czy przestrzeń liniowo trywialna jest tylko 1 czy nieskończenie wiele? Co to przestrzeń liniowa trywialna? Wydawało mi się, że to przestrzeń składająca się z 1 elementu i to jest wektor zerowy. Zatem przestrzeni trywialnych jest tylko jedna, ale nie wiem, czy to dobre myślenie? Chociaż inny pomysł, to, że ich jest nieskończenie wiele, bo możemy mieć przestrzeń liniową nad różnymi ciałami skalarów i różnie zdefiniowane działania mnożenia przez skalar i dodawania wektorów? Dobrze myślę?

No i ostatnie pytanie: jeśli \(\displaystyle{ A,B}\) są bazami podprzestrz. liniowych \(\displaystyle{ U, V}\) to, bazą \(\displaystyle{ A \cup B (A \cap B)}\) jest \(\displaystyle{ U \cup W (U \cup W)}\)

[bartek118]

\(\displaystyle{ A \cup B}\) nie musi być liniowo niezależny.
\(\displaystyle{ A \cap B}\) jest liniowo niezależny.

Inne pytanie - odpowiedź jest "tak" - podzbiór układu liniowo niezależnego jest liniowo niezależny.

Przestrzeń trywialna jest tylko jedna - wygląda tak: \(\displaystyle{ \{ 0 \}}\). Rozpatrujemy to oczywiście z dokładnością do izomorfizmu.

Ostatnie pytanie - nie musi tak być.

[squared]

Inne pytanie - odpowiedź jest "tak" - podzbiór układu liniowo niezależnego jest liniowo niezależny.

No z twojego wniosku wynika, że
Jeżeli A jest liniowo niezależny
a) \(\displaystyle{ B \subset A}\) to B - też liniowo niezależny
Ale z tego co napisałeś wynika, że b) \(\displaystyle{ A \subset B}\) to B jest niekoniecznie liniowo niezależny, bo tutaj A nie jest podzbiorem układu liniowo niezależnego - właśnie tego nie wiemy czy B jest liniowo niezależne. Czy dobrze zrozumiałem?

Nie odpowiedziałeś mi, co to w ogóle ta przestrzeń trywialna. Jaka jest definicja, o co w niej chodzi i czemu akurat tylko jedna, a nie 5, czy nieskończenie wiele?

Do ostatniego pytania tam było, źle przeze mnie napisane. Tak miało być:
1)Jeśli A,B są bazami podprzestrz. liniowych \(\displaystyle{ U, V}\) to, bazą \(\displaystyle{ A \cup B}\) jest \(\displaystyle{ U \cup W}\)
2)Jeśli A,B są bazami podprzestrz. liniowych \(\displaystyle{ U, V}\) to, bazą \(\displaystyle{ A \cap B}\) jest \(\displaystyle{ U \cap W}\)

Dziękuję oczywiście za zainteresowanie tematem.

[bartek118]

Do ostatniego pytania tam było, źle przeze mnie napisane. Tak miało być:
1)Jeśli A,B są bazami podprzestrz. liniowych \(\displaystyle{ U, V}\) to, bazą \(\displaystyle{ A \cup B}\) jest \(\displaystyle{ U \cup W}\)
2)Jeśli A,B są bazami podprzestrz. liniowych \(\displaystyle{ U, V}\) to, bazą \(\displaystyle{ A \cap B}\) jest \(\displaystyle{ U \cap W}\)

Obydwa fakty są nieprawdziwe.-- 25 sty 2014, o 21:21 --Co do wcześniejszych pytań - jeśli \(\displaystyle{ B \subset A}\) i \(\displaystyle{ A}\) jest liniowo niezależny, to \(\displaystyle{ B}\) także, na odwrót nie musi tak być.

Przestrzeń trywialna, to przestrzeń generowana przez zbiór pusty. Jeżeli mamy dwie przestrzenie trywialne: \(\displaystyle{ V = \{ 0_V \}}\) i \(\displaystyle{ W = \{ 0_W \}}\), to odwzorowanie \(\displaystyle{ F : V \rightarrow W}\) dane wzorem \(\displaystyle{ F(0_v) = 0_W}\) jest liniowym izomorfizmem. Czyli z dokładnością do izomorfizmu, mamy dokładnie jedną przestrzeń trywialną.