Suma prosta

[VillagerMTV]

Mam udowodnić takie coś:
\(\displaystyle{ \mathbb{R}^n = A \oplus B, a_{1},...,a_{k}}\) - baza A, \(\displaystyle{ b_{1},...,b_{n}}\) - baza b[/latex]
I z tego wynika, że baza \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) to jest \(\displaystyle{ a_{1},...,a_{k},b_{1},...,b_{n}}\).

Ogólnie samą ideę rozumiem, bo jeśli mamy mieć bazę \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\), a na tę przestrzeń składa się \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) to musimy skorzystać z ich baz. Ale nie wiem jak to formalnie napisać, tak żeby był to dowód.

Proszę o pomoc.

[szw1710]

Niech \(\displaystyle{ x\in\RR^n}\). Wtedy \(\displaystyle{ x=a+b}\) dla \(\displaystyle{ a\in A}\) oraz \(\displaystyle{ b\in B}\) jednoznacznie. Przedstaw \(\displaystyle{ a,b}\) w postaci kombinacji wektorów bazowych z \(\displaystyle{ A,B}\). A teraz sprawdź, że przedstawienie \(\displaystyle{ a+b}\) w postaci sumy tych kombinacji jest jednoznaczne w sensie kombinacji liniowej wektorów baz podprzestrzeni \(\displaystyle{ A,B.}\) Skąd to wynika?

To już wystarczy. Zbiór wektorów rozpinających przestrzeń i takich, że każdy wektor przedstawia się jednoznacznie jako kombinacja liniowa wektorów tego zbioru, jest już bazą.

Masz małą kolizję oznaczeń. Skoro rozważasz \(\displaystyle{ \RR^n}\), niefortunnie jest pisać \(\displaystyle{ b_1,\dots,b_n}\).

[VillagerMTV]

Rzeczywiście jest kolizja. Zadanie przepisane z tablicy, ale musiałem zamienić n z m.

Musi być jednoznaczne, bo a jest przedstawione jednoznacznie i b jest przedstawione jednoznacznie (bo korzystam z baz tych podprzestrzeni), więc suma też musi być jednoznacznie?

[szw1710]

Dlaczego suma też musi być jednoznacznie przedstawiona?

Zredagujmy to.

Powiedzmy, że \(\displaystyle{ x=\sum\alpha_i a_i+\sum\beta_jb_j=\sum\alpha_i'a_i+\sum\beta_j'b_j}\). Dlaczego to przedstawienie jest jednoznaczne? Wykaż, że \(\displaystyle{ \alpha_i=\alpha_i'}\) oraz \(\displaystyle{ \beta_j=\beta_j'}\).

[VillagerMTV]

Nie wiem dlaczego.

Wiadomo jeszcze, że w b nie pojawiają się kombinacje wektorów z a i odwrotnie. Ale i tak nie wiem z czego jeszcze skorzystać

[szw1710]

Z jednoznaczności zapisu \(\displaystyle{ a+b}\), bo mieliśmy sumę prostą.

[VillagerMTV]

Rozumiem. Dziękuję za poświęcony czas.

[szw1710]

Nie ma sprawy. Ale zawsze miło przeczytać