Witam,
mam problem z poniższym zadaniem.
Dane są wektory \(\displaystyle{ X_{1}=[1,-1,2,3], X_{2}=[3,2,-1,-2], X_{3}=[7,3,0,-1], X_{4}=[17,8,-1,-3]}\) oraz \(\displaystyle{ X = [13,7,-2,-5]}\).
Zgodnie z poleceniem sprawdzam wymiar przestrzeni, którą rozpinają wektory oraz wyznaczam bazę \(\displaystyle{ \alfa}\):
\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1&-1&2&3\\3&2&-1&-2\\7&3&0&-1 \\ 17&8&-1&-3\end{bmatrix} = (...) = \begin{bmatrix} 5&0&0\\0&5&0\\0&0&1\end{bmatrix} \\
\\
rank(A) = 3 \\
\\}\)
Baza alfa to trzy liniowo niezależne wektory \(\displaystyle{ X_1, X_2, X_4}\):
\(\displaystyle{ \alpha = \begin{bmatrix} 1&3&17\\-1&2&8\\2&-1&-1\\ 3&-2&-3\\ \end{bmatrix}}\)
Wyznaczam współrzędne wektorów \(\displaystyle{ X_3, X}\) w bazie alfa.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&3&17&|7&|13\\-1&2&8&|3&|7\\2&-1&-1&|0&|-2\\ 3&-2&-3&|1&|-5\\ \end{bmatrix} = (...) = \begin{bmatrix} 1&0&0&|1&|1\\0&1&0&|2&|4\\0&0&1&|0&|0\\ \end{bmatrix}}\)
W poleceniu należy wybrać inną bazę beta. Wybieram \(\displaystyle{ \beta = X_1\alpha, X_3\alpha, X_4\alpha}\).
\(\displaystyle{ \beta=\begin{bmatrix}1&1&0\\ 0&2&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}}\).
Teraz należy wyznaczyć macierz przejścia z bazy do bazy oraz znaleźć macierz przekształcia współrzędnych dowolnego wektora w pierwszej bazie na współrzędne tego samego wektora w drugiej bazie.
Moje pytanie dotyczy tych poleceń. Wiem, że macierz przejścia ma w kolumnach współrzędne wektorów starej bazy w nowej bazie. Czyli mam to zrobić w sposób niżej przedstawiony?
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1&1&0&|1&|0&|0\\ 0&2&0&|0&|1&|0\\ 0&0&1&|0&|0&|1\end{bmatrix} = (...) = \begin{bmatrix}1&-\frac{1}{2}&0 \\ 0&\frac{1}{2}&0 \\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}}\)
W innym źródle znalazłem informację, że macierz przejścia A to:
\(\displaystyle{ A=[\beta] = \begin{bmatrix}1&1&0\\ 0&2&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}}\).
Dalej macierz przkształcenia to \(\displaystyle{ A^{-1}}\), jednak jakie jest właściwe \(\displaystyle{ A}\)? Z góry dzięki za wskazówki.