Reguła Sarrusa

[Matiks21]

Witam,

Szukam dowodu na nieprawdziwość reguły Sarrusa dla wszystkich \(\displaystyle{ n>3}\) naturalnych

[leszczu450]

Matiks21, dowodu na nieprawdziwość ? Rozpisz sobie wyznacznik z definicji. To ten taki długi wzorek. Wylicz nim wyznacznik dla macierzy \(\displaystyle{ 4\times 4}\) i zobacz, że wyznacznik jest inny niż liczony metodą Sarrusa. Poza tym chyba nie ma na to doowdu. To tylko metoda. Ktoś zauważył, to że można sobie dopisać dwa wiersze(kolumny) i powymnażać tak na krzyź.

[bartek118]

Zamiast rozpisywać abstrakcyjnie wyznacznik, wystarczy na jakimś prostym przykładzie sprawdzić, że nie działa

[Matiks21]

znalazłem taki argument.

Weźmy macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&1\\0&1&1\end{array}\right]}\) tworząc macierz kwadratową o stopien wyższy dodajmy wiersz by był to pierwszy wiersz w nowo powstałej macierzy i to tak samo postępujmy z kolumną. Element \(\displaystyle{ a_{(1,1)}}\) niech wynosi 1 , a reszta niech bedzie równa zero. Np dla macierzy kwadratowej stopnia 4 otrzymujemy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&1&1\end{array}\right]}\). Wyznacznik takich macierzy zawsze będzie równy zero ponieważ macierze te mają wiersz który się powtarza, a korzystając z reguły Sarrusa dla stopnia \(\displaystyle{ n}\) gdzie \(\displaystyle{ n>3}\) wyznacznik ich jest zawsze równy 1.

[leszczu450]

Matiks21, ale tu nie potrzeba niewiadomo jakiego dowodu. Weź jakąs macierz \(\displaystyle{ 4 \times 4}\) i zobacz, że jej wyznacznik liczony metodą Sarrusa nie jest prawdziwnym wyznacznikiem. To nie jest twierdzenie tylko METODA. Nie ma więc po co dumać nad tym, że to nie działa dla większych wyznaczników.

[Matiks21]

To jest metoda memotechniczna. Została zauważona pewna własność, która została sformułowana jako reguła dla wymiaru 2 i 3. Mam wykazać że dla kazdego wymiaru większego od 3 taka macierz nie ma tej własności. Mówisz mi że mam sprawdzać dla wymiaru 4 i to będzie dowód? Nie zrozumiałeś tego co napisałem? Czy napisałem że jest to twierdzenie? Miałem wykazać, więc starałem się to zrobić bez machania rękoma.

[leszczu450]

Matiks21, jeśli masz udowodnić, że ta metoda jest nieprawdziwa dla każdego wymiaru większego od \(\displaystyle{ 3 \times 3}\) to wystarczy, że pokażesz kontrprzykład. Pokazałeś jedną taka macierz, dla której nie działa metoda Sarrusa. Oznacza to, że metoda Sarrusa nie wylicza poprawnie wyznacznika dla wszystkich macierzy większych od \(\displaystyle{ 3 \times 3}\). (bo w szczególności nie wylicza tego dla Twojego przykładu.).

[yorgin]

leszczu450, jest pewna różnica między tym, co piszesz a tym, czego oczekuje Matiks21.

Wskazanie jednego przykładu dla \(\displaystyle{ n=4}\) oznacza, że reguła jest fałszywa w wymiarze \(\displaystyle{ n=4}\). Nie dowodzi ona jednak niczego na temat reguły w wyższych wymiarach.

Chcąc więc pokazać, że reguła Sarrusa jest fałszywa dla każdego \(\displaystyle{ n>3}\) należy wskazać macierz \(\displaystyle{ n\times n}\) dla każdego \(\displaystyle{ n>3}\) taką, że reguła nie działa.

Wyżej pokazany został przykład dla \(\displaystyle{ n=4}\). Szczęśliwie łatwo jest z niego wyprodukować przykład na dowolne \(\displaystyle{ n}\).

[leszczu450]

yorgin, masz racje. Wszystko zależy od tego, jak brzmi dokładnie teza. Ja założyłem, że teza brzmi: Dla każdego \(\displaystyle{ n>3}\) metoda działa. Pokazałem kontrprzykład i koniec. Ale macie racje. Teza brzmi inaczej. Metoda Sarrusa jest nieprawdziwa dla każdej macierzy o rozmiarze \(\displaystyle{ n >3}\). Zatem pokazanie, że nie dziala dla \(\displaystyle{ n=4}\) nie kończy dowodu. Zwracam honor autorowi tematu.