Ile jest macierzy takich, że

[Bobi02]

Witam. Walczę z takim problemem. Próbowałem dojść do sedna w dość prymitywny sposób, czyli rozpatrując różne przypadki. Jednak to dość żmudne, zna ktoś subtelniejsze rozwiązanie?

Ile jest macierzy \(\displaystyle{ A \in M_{10x10}(\mathbb{R})}\) złożonych z liczb 0 i 1 takich, że liczba \(\displaystyle{ det A}\) jest nieparzysta?

[rtuszyns]

Napisz warunek na nieparzystość wyznacznika. Wyznacznik obliczyć można stosując rozwinięcie Laplace'a.

[Bobi02]

Najlepiej wyjść od macierzy jedynek, czy to nie ma znaczenia?

[Zordon]

To jest równoważne pytaniu ile jest odwracalnych macierzy \(\displaystyle{ n \times n}\) nad ciałem \(\displaystyle{ \ZZ_2}\). Odpowiedź na to pytanie to \(\displaystyle{ (2^n-1)(2^n-2)\cdot ...\cdot (2^n-2^{n-1})}\).
A rozumowanie jest takie:
1. pierwszą kolumnę wybieramy dowolnie, żeby tylko nie była zerem \(\displaystyle{ (2^n-1)}\) opcji
2. drugą kolumnę musimy wybrać tak, żeby była liniowo niezależna wspólnie z pierwszą, można to zrobić na \(\displaystyle{ (2^n-2)}\) sposoby
3. i-tą kolumnę musimy wybrać tak, aby była lnz, z pierwszymi (i-1) kolumnami, zatem ma nie leżeć w przestrzeni \(\displaystyle{ V_{i-1}}\) rozpiętej przez pierwszych (i-1) kolumn. Mamy \(\displaystyle{ \dim(V_{i-1})=i-1}\), zatem \(\displaystyle{ |V_{i-1}|=2^{i-1}}\). Zatem mamy \(\displaystyle{ (2^n-2^{i-1})}\) możliwości.


edit: chociaż jestem ciekawy jak to robić rozwinięciem Laplace'a, tak jak sugeruje rtuszyns wyżej.