z wartości własnych i wektorów wyznaczyć macierz

[paulinho92]

Z podanych wartości własnych oraz wektorów stworzyć(wyznaczyć) macierz
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{c|c}
1 & -2 \\
\hline
\ 1 & 1 \\
1 & 2 \\
\end{tabular}}\) A=?

Proszę pomóżcie mi z tym zadaniem

[lukasz1804]

Z definicji wektora własnego mamy

\(\displaystyle{ A\left[\begin{array}{cc} 1 \\ 1 \end{array}\right]=1\cdot\left[\begin{array}{cc} 1 \\ 1 \end{array}\right]}\)

oraz

\(\displaystyle{ A\left[\begin{array}{cc} 1 \\ 2 \end{array}\right]=(-2)\cdot\left[\begin{array}{cc} 1 \\ 2 \end{array}\right]}\).

Łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ A}\) musi być macierzą kwadratową stopnia \(\displaystyle{ 2}\), zatem \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right]}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b,c,d\in\RR}\).
Przy powyższych oznaczeniach mamy

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=1 \\ c+d=1 \\ a+2b=-2 \\ c+2d=-4 \end{cases}}\).

Wystarczy rozwiązać otrzymany układ równań.