Czy istnieje macierz
-
- Użytkownik
- Posty: 213
- Rejestracja: 6 paź 2013, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 3 razy
Czy istnieje macierz
Witam. Jak rozstrzygnąć poniższe problemy?
1. Czy istnieje macierz \(\displaystyle{ A \in M_{3x3} (\mathbb{R}}\) spełniająca warunki :
\(\displaystyle{ A^2 = \begin{bmatrix} 2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}}\)
oraz \(\displaystyle{ A^3 \begin{bmatrix} 0&0&3\\0&3&0\\3&0&0\end{bmatrix}}\)
2. Czy istnieje \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) oraz macierze \(\displaystyle{ A,B \in M_{nxn} (\mathbb{R})}\) takie, że
\(\displaystyle{ AB - BA = I}\) ?
1. Czy istnieje macierz \(\displaystyle{ A \in M_{3x3} (\mathbb{R}}\) spełniająca warunki :
\(\displaystyle{ A^2 = \begin{bmatrix} 2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}}\)
oraz \(\displaystyle{ A^3 \begin{bmatrix} 0&0&3\\0&3&0\\3&0&0\end{bmatrix}}\)
2. Czy istnieje \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) oraz macierze \(\displaystyle{ A,B \in M_{nxn} (\mathbb{R})}\) takie, że
\(\displaystyle{ AB - BA = I}\) ?
-
- Użytkownik
- Posty: 213
- Rejestracja: 6 paź 2013, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 3 razy
Czy istnieje macierz
Pomnożyć to przez odwróconą \(\displaystyle{ A^2}\)?
Wychodzi mi, że A powinno być \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&0& \frac{3}{2} \\0& \frac{3}{2}&0\\ \frac{3}{2} &0&0\end{bmatrix}}\)
Wychodzi mi, że A powinno być \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&0& \frac{3}{2} \\0& \frac{3}{2}&0\\ \frac{3}{2} &0&0\end{bmatrix}}\)
Ostatnio zmieniony 15 sty 2014, o 18:46 przez Bobi02, łącznie zmieniany 2 razy.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Czy istnieje macierz
Alternatywne podejście: skorzystaj z własności wyznacznika.Bobi02 pisze: 1. Czy istnieje macierz \(\displaystyle{ A \in M_{3x3} (\mathbb{R}}\) spełniająca warunki :
\(\displaystyle{ A^2 = \begin{bmatrix} 2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}}\)
oraz \(\displaystyle{ A^3 \begin{bmatrix} 0&0&3\\0&3&0\\3&0&0\end{bmatrix}}\)
Skorzystaj z własności śladu macierzy.Bobi02 pisze: 2. Czy istnieje \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) oraz macierze \(\displaystyle{ A,B \in M_{nxn} (\mathbb{R})}\) takie, że
\(\displaystyle{ AB - BA = I}\) ?
-
- Użytkownik
- Posty: 213
- Rejestracja: 6 paź 2013, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 3 razy
Czy istnieje macierz
Wyznacznik macierzy, zgadza się z tym który można otrzymać z \(\displaystyle{ det(A^2 \cdot A)=det(A^2) \cdot det(A)}\), lecz ta macierz po podniesieniu do kwadratu nie jest równa \(\displaystyle{ A^2}\).
A śladu macierzy jeszcze nie ruszałem.
A śladu macierzy jeszcze nie ruszałem.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Czy istnieje macierz
Co z tego wynika?Bobi02 pisze:Wyznacznik macierzy, zgadza się z tym który można otrzymać z \(\displaystyle{ det(A^2 \cdot A)=det(A^2) \cdot det(A)}\), lecz ta macierz po podniesieniu do kwadratu nie jest równa \(\displaystyle{ A^2}\).
Ukryta treść:
Tzn nie był jeszcze wprowadzany na wykładzie/ćwiczeniach?Bobi02 pisze: A śladu macierzy jeszcze nie ruszałem.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Czy istnieje macierz
Ze śladu wychodzi w jednej linijce... Bez tego póki co nie mam pomysłu.
Edit - sprawdziłem dwa źródła w sieci, w obu rozwiązania bazują na śladzie.
Edit - sprawdziłem dwa źródła w sieci, w obu rozwiązania bazują na śladzie.
-
- Użytkownik
- Posty: 213
- Rejestracja: 6 paź 2013, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 3 razy
Czy istnieje macierz
W jaki sposób wychodzi odpowiedź z użycia śladu macierzy?
Czy będzie to :
\(\displaystyle{ tr(AB) = tr(BA)}\), a mamy \(\displaystyle{ AB - BA}\) czyli po wykonaniu tego działania ślad będzie równy 0, i nie może być to macierz jednostkowa?
Czy będzie to :
\(\displaystyle{ tr(AB) = tr(BA)}\), a mamy \(\displaystyle{ AB - BA}\) czyli po wykonaniu tego działania ślad będzie równy 0, i nie może być to macierz jednostkowa?
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Czy istnieje macierz
Bardzo dobrze.Bobi02 pisze:W jaki sposób wychodzi odpowiedź z użycia śladu macierzy?
Czy będzie to :
\(\displaystyle{ tr(AB) = tr(BA)}\), a mamy \(\displaystyle{ AB - BA}\) czyli po wykonaniu tego działania ślad będzie równy 0,
? Ślad macierzy jednostkowej stopnia \(\displaystyle{ n}\) to \(\displaystyle{ n}\), więc...Bobi02 pisze: i nie może być to macierz jednostkowa?