Czy istnieje macierz

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Bobi02
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 213
Rejestracja: 6 paź 2013, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 3 razy

Czy istnieje macierz

Post autor: Bobi02 »

Witam. Jak rozstrzygnąć poniższe problemy?

1. Czy istnieje macierz \(\displaystyle{ A \in M_{3x3} (\mathbb{R}}\) spełniająca warunki :

\(\displaystyle{ A^2 = \begin{bmatrix} 2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}}\)

oraz \(\displaystyle{ A^3 \begin{bmatrix} 0&0&3\\0&3&0\\3&0&0\end{bmatrix}}\)

2. Czy istnieje \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) oraz macierze \(\displaystyle{ A,B \in M_{nxn} (\mathbb{R})}\) takie, że

\(\displaystyle{ AB - BA = I}\) ?
rafalpw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2203
Rejestracja: 15 lis 2012, o 00:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 526 razy

Czy istnieje macierz

Post autor: rafalpw »

1. Podpowiedź: \(\displaystyle{ A^3=A^2 \cdot A}\) .
Bobi02
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 213
Rejestracja: 6 paź 2013, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 3 razy

Czy istnieje macierz

Post autor: Bobi02 »

Pomnożyć to przez odwróconą \(\displaystyle{ A^2}\)?

Wychodzi mi, że A powinno być \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&0& \frac{3}{2} \\0& \frac{3}{2}&0\\ \frac{3}{2} &0&0\end{bmatrix}}\)
Ostatnio zmieniony 15 sty 2014, o 18:46 przez Bobi02, łącznie zmieniany 2 razy.
rafalpw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2203
Rejestracja: 15 lis 2012, o 00:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 526 razy

Czy istnieje macierz

Post autor: rafalpw »

Wstaw do równania \(\displaystyle{ A^2}\) i \(\displaystyle{ A^3}\) , bo te macierze znasz.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Czy istnieje macierz

Post autor: yorgin »

Bobi02 pisze: 1. Czy istnieje macierz \(\displaystyle{ A \in M_{3x3} (\mathbb{R}}\) spełniająca warunki :

\(\displaystyle{ A^2 = \begin{bmatrix} 2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}}\)

oraz \(\displaystyle{ A^3 \begin{bmatrix} 0&0&3\\0&3&0\\3&0&0\end{bmatrix}}\)
Alternatywne podejście: skorzystaj z własności wyznacznika.
Bobi02 pisze: 2. Czy istnieje \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) oraz macierze \(\displaystyle{ A,B \in M_{nxn} (\mathbb{R})}\) takie, że

\(\displaystyle{ AB - BA = I}\) ?
Skorzystaj z własności śladu macierzy.
Bobi02
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 213
Rejestracja: 6 paź 2013, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 3 razy

Czy istnieje macierz

Post autor: Bobi02 »

Wyznacznik macierzy, zgadza się z tym który można otrzymać z \(\displaystyle{ det(A^2 \cdot A)=det(A^2) \cdot det(A)}\), lecz ta macierz po podniesieniu do kwadratu nie jest równa \(\displaystyle{ A^2}\).

A śladu macierzy jeszcze nie ruszałem.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Czy istnieje macierz

Post autor: yorgin »

Bobi02 pisze:Wyznacznik macierzy, zgadza się z tym który można otrzymać z \(\displaystyle{ det(A^2 \cdot A)=det(A^2) \cdot det(A)}\), lecz ta macierz po podniesieniu do kwadratu nie jest równa \(\displaystyle{ A^2}\).
Co z tego wynika?
Ukryta treść:    
Bobi02 pisze: A śladu macierzy jeszcze nie ruszałem.
Tzn nie był jeszcze wprowadzany na wykładzie/ćwiczeniach?
Bobi02
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 213
Rejestracja: 6 paź 2013, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 3 razy

Czy istnieje macierz

Post autor: Bobi02 »

Nie ma takiej macierzy.

Tak, nie był wprowadzany jeszcze.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Czy istnieje macierz

Post autor: yorgin »

Ze śladu wychodzi w jednej linijce... Bez tego póki co nie mam pomysłu.

Edit - sprawdziłem dwa źródła w sieci, w obu rozwiązania bazują na śladzie.
Bobi02
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 213
Rejestracja: 6 paź 2013, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 3 razy

Czy istnieje macierz

Post autor: Bobi02 »

W takim razie jak się to robi? O śladzie sobie doczytam.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Czy istnieje macierz

Post autor: yorgin »

Bobi02 pisze:W takim razie jak się to robi?
Chodzi o problem drugi? Co rozumiesz przez "jak"?
Bobi02
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 213
Rejestracja: 6 paź 2013, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 3 razy

Czy istnieje macierz

Post autor: Bobi02 »

W jaki sposób wychodzi odpowiedź z użycia śladu macierzy?

Czy będzie to :

\(\displaystyle{ tr(AB) = tr(BA)}\), a mamy \(\displaystyle{ AB - BA}\) czyli po wykonaniu tego działania ślad będzie równy 0, i nie może być to macierz jednostkowa?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Czy istnieje macierz

Post autor: yorgin »

Bobi02 pisze:W jaki sposób wychodzi odpowiedź z użycia śladu macierzy?

Czy będzie to :

\(\displaystyle{ tr(AB) = tr(BA)}\), a mamy \(\displaystyle{ AB - BA}\) czyli po wykonaniu tego działania ślad będzie równy 0,
Bardzo dobrze.
Bobi02 pisze: i nie może być to macierz jednostkowa?
? Ślad macierzy jednostkowej stopnia \(\displaystyle{ n}\) to \(\displaystyle{ n}\), więc...
ODPOWIEDZ