wektory własne z trzech takich samych wartości własnych

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
PoPierwsze
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 22 lis 2013, o 21:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: W-wa
Podziękował: 9 razy

wektory własne z trzech takich samych wartości własnych

Post autor: PoPierwsze »

witam, proszę o pomoc w wyznaczeniu wektorów własnych takiej macierzy:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&1&0\\-4&4&0\\-2&1&2\end{array}\right]}\)

otrzymujemy trzy takie same wartości własne równe 2 i nie bardzo wiem jak dalej skonstruować 3 wektory własne...
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

wektory własne z trzech takich samych wartości własnych

Post autor: lukasz1804 »

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} -2 & 1 & 0 \\ -4 & 2 & 0 \\ -2 & -1 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]\iff\begin{cases} -2x+y=0 \\ -2x-y+2z=0 \end{cases}\iff\left[\begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \end{array}\right]=x\left[\begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right]}\)

Wartość własna \(\displaystyle{ 2}\) generuje zatem tylko jeden wektor własny. Takie przypadki się zdarzają (danej macierzy nie można wobec tego zdiagonalizować).

Na marginesie, nie jest możliwe, by macierz stopnia \(\displaystyle{ n}\) o \(\displaystyle{ n}\)-krotnej wartości własnej posiadała \(\displaystyle{ n}\) różnych wektorów własnych.
ODPOWIEDZ