Zrozumieć bazę

[Poszukujaca]

Już długi czas zastanawiam się nad pewną kwestią dotyczącą pojęcia bazy.
Nie rozumiem do końca tego, czym jest baza. Bardzo proszę o pomoc i weryfikację moich przemyśleń.

Główne pytanie brzmi - czy baza danej przestrzeni musi składać się z tylu wektorów ile wynosi wymiar tej podprzestrzeni?

Jedna z definicji podanych na wykładzie brzmi:
Liczbę wektorów w danej bazie niezerowej podprzestrzeni wektorowej U nazywamy jej wymiarem i oznaczamy dim U.

W książce Rutkowskiego czytam:
,,Liczbę wektorów tworzących dowolną bazę przestrzeni V nazywamy wymiarem przestrzeni V."

Natomiast rozwiązując zadania na algebrze, w których szukaliśmy wektorów tworzących bazę danej podprzestrzeni czasami było tak, że braliśmy np. dwa wektory tworzące bazę przestrzeni trójwymiarowej.

[AiDi]

Główne pytanie brzmi - czy baza danej przestrzeni musi składać się z tylu wektorów ile wynosi wymiar tej podprzestrzeni?

Przestrzeni. Tak, bo z definicji wymiar przestrzeni, to liczba wektorów tworzących bazę tej przestrzeni.

Natomiast rozwiązując zadania na algebrze, w których szukaliśmy wektorów tworzących bazę danej podprzestrzeni czasami było tak, że braliśmy np. dwa wektory tworzące bazę przestrzeni trójwymiarowej.

Jak sama napisałaś, bazę podprzestrzeni. Biorąc dwa z trzech wektorów bazowych w przestrzeni trójwymiarowej, otrzymamy bazę dwuwymiarowej podprzestrzeni tej przestrzeni. Rozróżniaj pojęcia przestrzeni i podprzestrzeni.

[yorgin]

Baza to taki zbiór wektorków przestrzeni, że każdy wektor w tej przestrzeni daje się zapisać w sposób jednoznaczny jako kombinacja liniowa wektorów z bazy.

Wymiar przestrzeni to liczność bazy. Ponieważ wszystkie bazy są równoliczne, to nie ma znaczenia, jaką bazę weźmiemy.

[Poszukujaca]

W takim razie moje złe rozumienie wynikało z braku rozróżnienia przestrzeni i podprzestrzeni.

Liczba wektorów tworzących bazę podprzestrzeni jest niewiększa niż wymiar przestrzeni, do której należy podprzestrzeń.

Tak?

Co to znaczy, że bazy są równoliczne?

[leszczu450]

Poszukujaca, to znaczy, że mają tyle samo elementów.

[AiDi]

Liczba wektorów tworzących bazę podprzestrzeni jest niewiększa niż wymiar przestrzeni, do której należy podprzestrzeń.

Tak?

Tak, dokładnie.

[Poszukujaca]

Dziękuję za wszelkie objaśnienia!

Skoro już bardziej rozumiem, czym je baza, pora zrozumieć od A do Z jakieś zadanie dotyczące baz.

Jak wyznaczyć bazę podprzestrzeni wektorowej:
\(\displaystyle{ L(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4})}\)
jeżeli:
\(\displaystyle{ v_{1}=(-1,1,0,1), v_{2}=(-2,3,1,2), v_{3}=(1,2,1,2), v_{4}=(-2,7,1,5)}\)

Mam po prostu sprawdzić, które z tych czterech wektorów są liniowo niezależne?

[AiDi]

Tak, sprawdź czy są one liniowo zależne, czy nie.