Macierz współrzędnych wektorów układu

[kalwi]

Wyznaczyć macierz \(\displaystyle{ M_{\mathcal{B}}\left( \mathcal{A}\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathcal{A}=\left( 3x^2+x+2,2x^2+x+1,x^2+3\right), \mathcal{B}=\left( x^2,x,1\right)}\). Wykazać, że układ \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ \RR_2\left[ x\right]}\)

szczerze, to u mnie leży teoria z tego działu, więc czy mógłby mi ktoś na początek napisać, w jaki sposób mając podane bazy \(\displaystyle{ \mathcal{A},\mathcal{B}}\) mam wyznaczyć tą macierz?

[bartek118]

Co u Ciebie oznacza \(\displaystyle{ M_{\mathcal{B}}(\mathcal{A})}\)?

[kalwi]

na slajdzie mam to tak zdefiniowane

Symbolem \(\displaystyle{ M_{\mathcal{B}}(\mathcal{A})}\) będziemy oznaczać macierz współrzędnych wektorów układu \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) w bazie \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\).

[bartek118]

W takim razie wyznacz współrzędne każdego wektora z \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) w bazie \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) i ustaw je w kolumny macierzy.

[kalwi]

chodzi o coś takiego?

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&2&1\\1&1&0\\2&1&3\end{array}\right]}\)

[bartek118]

Dokładnie

[kalwi]

Wykazać, że układ \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ \RR_2\left[ x\right]}\)

a ten kawałek? bo jak dla mnie, skoro ten układ ma 3 wektory, to \(\displaystyle{ \imbox{dim}\mathcal{A}=3}\), a skoro \(\displaystyle{ \imbox{dim} \RR_2\left[ x\right]=3}\) to imo będzie to koniec zadania. Czy jednak źle myślę ( no i chyba jeszcze należałoby sprawdzić niezależność liniową)

[bartek118]

Nie, to że są trzy wektory jeszcze nic nie znaczy. Musisz pokazać, że jest on liniowo niezależny. W tym celu wystarczy sprawdzić, że wyznacznik otrzymanej macierzy jest niezerowy.

[kalwi]

ok, to było proste Trochę zadań z macierzy mam, więc w tym temacie już będę pisał, aby nie tworzyć wielu tematów. Kolejne zadanie:
Wyznaczyć macierz przekształcenia: \(\displaystyle{ \varphi: \RR^3 \rightarrow \RR^2, \varphi\left( \left( x,y,z\right) \right)=\left( 2x-y,x+y-z\right)}\) w bazach kanonicznych oraz w bazach \(\displaystyle{ \mathcal{A}=\left( \left( 1,2,0\right),\left( 2,1,3\right),\left( -1,1,2\right) \right)}\) i \(\displaystyle{ \mathcal{B}=\left( \left( 3,-1\right) ,\left( 1,0\right)\right)}\)

no i znów, jakaś wskazówka jak to trzeba zrobić byłaby mile widziana. Dla baz kanonicznych zapewne trzeba będzie wykonać coś takiego

\(\displaystyle{ \varphi\left( \left( 1,0,0\right) \right) =\left( 2,1\right) \\ \varphi\left( \left( 0,1,0\right) \right) =\left( -1,1\right) \\ \varphi\left( \left( 0,0,1\right) \right) =\left( 0,-1\right)}\)

ale co dalej to nie wiem

[bartek118]

W bazach kanonicznych - ustaw otrzymane wektory w kolumny i masz macierz.

W innych bazach - liczysz wartość przekształcenia na wektorach bazowych, wartości te zapisujesz wg współrzędnych drugiej bazy i ustawiasz w kolumny

[kalwi]

hmm, ok, udało się. Kolejne pytanko jak takie coś się robi

Niech \(\displaystyle{ \varphi}\) będzie symetrią płaszczyzny względem prostej \(\displaystyle{ y=3x}\).
Niech \(\displaystyle{ \mathcal{A}=\left( \left( 1,-3\right),\left( 2,1\right) \right) , \mathcal{B}=\left( \left( 1,0\right),\left( 0,1\right) \right)}\). Korzystając z macierzy zmiany bazy wyznaczyć \(\displaystyle{ M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}\left( \varphi\right),M_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}}\left( \varphi\right),M_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}}\left( \varphi\right),M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}\left( \varphi\right)}\)