Ortogonalne wektory własne macierzy

[jaranna]

Czy istnieje taka \(\displaystyle{ \alpha}\), że wektory własne macierzy \(\displaystyle{ A}\) są ortogonalne?

\(\displaystyle{ A= \begin{bmatrix} 3&1&1\\0&2&1\\0&\alpha&4\end{bmatrix}}\)

Proszę o pomoc bo nie mam zielonego pojęcia jak zrobić to zadanie

[AdamL]

Były próby liczenia wielomianu charakterystycznego? Jakieś inne metody, kombinowane?

[jaranna]

Tak, mam wielomian:
\(\displaystyle{ det A _{\lambda} =(3-\lambda)(8-6\lambda+ \lambda^{2} - \alpha)}\)
Wartości własne:
\(\displaystyle{ \lambda_{1} = 3, \lambda_{2}= 3- \sqrt{1+\alpha} , \lambda_{3}=3+\sqrt{1+\alpha}}\)
Więc wektory własne:
\(\displaystyle{ \vec{v_{1}} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} , \vec{v_{2}} = \begin{bmatrix} \frac{1-\alpha+\sqrt{1+\alpha}}{\alpha \sqrt{1+\alpha}} \\ \frac{-1-\sqrt{1+\alpha}}{\alpha} \\ 1\end{bmatrix}, \vec{v_{3}}= \begin{bmatrix} \frac{-1+\alpha+\sqrt{1+\alpha}}{\alpha \sqrt{1+\alpha}} \\ \frac{-1+\sqrt{1+\alpha}}{\alpha} \\ 1\end{bmatrix}}\)

Nie wiem tylko jak teraz sprawdzić czy te wektory są ortogonalne?

[AdamL]

A co jest jak mamy wektory wlasne odpowiadające róznym wartosciom wlasnym?

[jaranna]

Chyba każdej wartości własnej odpowiada jakiś wektor własny?

Znalazłam na wikipedii że są liniowo niezależne ale nie do końca rozumiem z czego to wynika...

[AdamL]

Weź ich iloczyny skalarne.

[jaranna]

Aha, wartości iloczynów wyszły różne od zera więc wektory te nie są ortogonalne, tak?-- 18 sty 2014, o 18:21 --Ok, głupie pytanie..