zerowy wyznacznik macierzy

[AngieOO]

Niech \(\displaystyle{ D:R^{2}\rightarrow R^{4}, E: R^{4}\rightarrow R^{2}}\) będą odwzorowaniami liniowymi. Udowodnić, że macierze odwzorowania \(\displaystyle{ D \circ E}\) ma zerowy wyznacznik. Podać przykład, że \(\displaystyle{ E \circ D}\) nie musi mieć zerowego wyznacznika.

[yorgin]

Załóżmy, że \(\displaystyle{ D\circ E}\) ma niezerowy wyznacznik. Wtedy jest to izomorfizm, a więc \(\displaystyle{ \ldots}\) jest monomorfizmem, a \(\displaystyle{ \ldots}\) jest epimorfizmem. Szukaj sprzeczności.

Przykład - wymyślaj.

[AngieOO]

jakiś prostszy sposób? nie biorąc pod uwagę homomorfizmów? mam z nimi mały kłopot. ;/

[yorgin]

To jest najprostszy sposób, jaki mi przychodzi do głowy.

Ale ok, spróbujmy inaczej.

Niech \(\displaystyle{ \det (DC)\neq 0}\). Wtedy układ równań \(\displaystyle{ DCx=y}\) jest Cramera, co więcej \(\displaystyle{ x=(DC)^{-1}y}\), a więc \(\displaystyle{ DC}\) jest bijekcją. Stąd \(\displaystyle{ \ldots}\) jest iniekcją, a \(\displaystyle{ \ldots}\) jest surjekcją. Czy \(\displaystyle{ \ldots}\) może być iniekcją? Czy \(\displaystyle{ \ldots}\) może być surjekcją? Nie, bo \(\displaystyle{ \ldots}\)

Kropki do uzupełnienia.

[AngieOO]

za dużo kropek jak dla osoby, która odpuściła sobie algebrę.

[yorgin]

Nie widzę w tym nic zabawnego. Bez algebry padniesz szybko, więc równie szybko powinnaś coś z brakami zrobić.

W miejsca kropek należy wpisać jedną z macierzy \(\displaystyle{ C}\) oraz \(\displaystyle{ D}\) i uzasadnienie. Wszystko to jest elementarzem zarówno z algebry, jak i z teorii mnogości.

[AngieOO]

na elementach nic podobnego nie było. wiem, że muszę to nadrobić ale jak wiadomo sesja się zbliża więc muszę skupić się na innych przedmiotach. dzięki wielkie za pomoc.