Macierz przekształcenia

[matinf]

Witam,
Mam pytanie bardziej teoretyczne. Otóż często chcielibyśmy (przynajmniej ja )
wyrażać przekształcenie:

\(\displaystyle{ \phi(\vec{v}) = A \cdot \vec{v}}\)
I ten wzór jest prawdziwy gdy A to macierz przekształcenia, ale w bazie kanonicznej (zarówno dziedziny jak i obrazu). A jak to się ma co do innych macierzy przekształcenia w innych bazach ?
Jak taki wzór można wyrazić ?

[bartek118]

Dokładnie tak samo, tylko wektor \(\displaystyle{ v}\) musisz zapisywać w tej bazie, w której jest opisana macierz \(\displaystyle{ A}\).

[matinf]

To może po prostu rozwiążmy takie zadanie:

\(\displaystyle{ A = [ (1,1,1); (1,1,0); (2,0,0) ] ]}\) jest bazą \(\displaystyle{ \RR^3 \\}\)
Niech \(\displaystyle{ f: \RR^3 \rightarrow \RR^3.}\)
Przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ f}\) ma macierz\(\displaystyle{ F}\) w bazie\(\displaystyle{ A}\).

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
0 & 1&2 \\
0 & 0 &2\\
0 &0 & -2
\end{bmatrix}}\)

Tzn baza dziedziny i baza obrazu \(\displaystyle{ f}\) to baza \(\displaystyle{ A}\).

Chcemy znaleźć wzór macierzowy:
no więc ja rozumuję tak:
To co trzeba zrobić to zawsze dają dowolny wektor do funkcji karmić ją współczynnikami wektora w bazie A. No więc weźmiemy macierz zmiany bazy z kanonicznej na A - niech to będzie macierz\(\displaystyle{ M}\).
Wtedy:
\(\displaystyle{ f(\vec{x}) = F \cdot (M^{-1} \cdot \vec{x})}\)
Dobrze rozumuję ? Dobry wyszedł wynik ?