jadro, obraz, bazy

[ziomalok19]

Może ktoś mi pomóc jak zrobic takie zadanie?
Dane jest odwzorowanie liniowe\(\displaystyle{ f :R^{3} \rightarrow R^{2}}\)wzorem \(\displaystyle{ f\left( x,y,z\right) =\left( x-y+2z; -2x+2y-4z\right)}\) . Znalezc jadro , obraz oraz podac ich bazy.

\(\displaystyle{ Ker f}\) wyszlo mi \(\displaystyle{ \left( s-2t,s,t\right)}\) i z tego wektory: \(\displaystyle{ \left( 1,1,0\right) , \left( -2,0,1\right)}\) Więc to juz jest ta baza. Został obraz ale nie wiem do konca jak to robic. Na te chwile mam to:
\(\displaystyle{ \left\{ \left( x-y+2z, -2x+2y-4z\right): x,y,z \in R \right\} = \left\{ x \cdot \left( 1,-2\right) +y \cdot \left( -1,2\right)+z\left( 2,-4\right):x,y,z \in R \right\}}\)
czyli mam te 3 wektory i musze sprawdzić ich liniowa niezalezność. Jak to zrobić? Obliczyć wyznaczniki kazdej pary wektorów?

[rafalpw]

Uzupełnij bazę jądra do bazy całej przestrzeni. Dołączony wektor będzie bazą obrazu.

[ziomalok19]

Nie bardzo rozumiem.

[rafalpw]

Baza jądra jest układem liniowo niezależnym w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) .

Każdy układ liniowo niezależny można rozszerzyć do bazy całej przestrzeni.

Niech \(\displaystyle{ \left( u_1,...,u_k\right)}\) będzie bazą jądra, a \(\displaystyle{ \left( u_1,...,u_k,w_1,...,w_l\right)}\) bazą całej przestrzeni. \(\displaystyle{ \left( F(w_1),...F(w_l)\right)}\) jest bazą obrazu przekształcenia \(\displaystyle{ F}\) .

[ziomalok19]

No ok ale nie wiem jak mam wyznaczyc te pozostałe wektory. Co musze zrobić ?

[yorgin]

Uzupełnij bazę jądra do bazy całej przestrzeni. Dołączony wektor będzie bazą obrazu.

Nie za bardzo. Obraz siedzi w \(\displaystyle{ \RR^2}\), a jądro w \(\displaystyle{ \RR^3}\).

[rafalpw]

Uzupełnij bazę jądra do bazy całej przestrzeni. Dołączony wektor będzie bazą obrazu.

Nie za bardzo. Obraz siedzi w \(\displaystyle{ \RR^2}\), a jądro w \(\displaystyle{ \RR^3}\).

Chodziło mi, że obraz wektora będzie bazą obrazu. W następnym poście już jest dobrze.-- 8 sty 2014, o 22:35 --

No ok ale nie wiem jak mam wyznaczyc te pozostałe wektory. Co musze zrobić ?

Najpierw rozszerz układ do bazy.

[ziomalok19]

Zrobiłem inaczej: wypisałem te wektory:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&-2\\-1&2\\2&-4\end{array}\right]}\) i po 2 przekształceniach został mi tylko wektor \(\displaystyle{ \left[ 1,-2\right]}\) bo reszta sie powtórzyła. Jest on liniowo niezalezny, wiec tworzy baze \(\displaystyle{ Im f}\). Jest to poprawne?