Dla jakich wartości układ równań jest sprzeczny (macierze) ?

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Marek4444
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 1 sty 2014, o 21:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krakow
Podziękował: 1 raz

Dla jakich wartości układ równań jest sprzeczny (macierze) ?

Post autor: Marek4444 »

Należy wyznaczyć takie wartości dla a i b aby układ ten był sprzeczny .?.
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x-3y+5z+t=a\\3x+3y+3z+7t=-1\\x+2z+bt=0 \end{array}}\)

Czy mogę to obliczyć metodą Gaussa i wówczas w ostatnim kroku wyjdzie mi

\(\displaystyle{ { 0x+0y+0z+b-2=\frac{3}{4}}\)a - \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)

a wtedy postawić warunek że gdy b = 2 jest sprzeczny i dla a różne od \(\displaystyle{ -\frac{1}{3}}\)
Czy to jest dobrze ????

Czy jest jakiś inny sposób rozwiązania tego typu zadania ????
Rudis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 6 sty 2014, o 13:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brak
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 17 razy

Dla jakich wartości układ równań jest sprzeczny (macierze) ?

Post autor: Rudis »

Możesz skorzystać z twierdzenia Kroneckera-Capellego.
Policz rząd macierzy głównej A (rząd macierzy utworzonej ze współczynników przy niewiadomych)
i porównaj z rzędem macierzy uzupełnionej B.(rząd macierzy utworzonej ze współczynników przy niewiadomych z dodaną kolumną wyrazów wolnych po prawych stronach równości)

Twierdzenie Kroneckera-Capellego stwierdza, że układ ma rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy głównej równy jest rzędowi macierzy uzupełnionej.
Czyli układ nie ma rozwiązań gdy \(\displaystyle{ rzA \neq rzB}\).

Zapewne macierz będzie wyglądac tak:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\0&5&6&7\\0&0&0&p\end{array}\right]}\)

gdzie \(\displaystyle{ p}\) to jakiś związek z b (prawdopodobnie b-2 , nie liczylem tego dlatego lepiej przelicz)

Natomiast macierz uzupełniona :

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&2&3&4&a\\0&5&6&7&q\\0&0&0&p&w\end{array}\right]}\)

gdzie \(\displaystyle{ q,w}\) jakieś zwiazki a (coś w stylu \(\displaystyle{ \frac{1-a}{4}}\))

Teraz wystarczy pokazać dla jakich b i a \(\displaystyle{ p=0 \wedge w \neq 0 .}\) (różne rzędy)

Cyfry w powyższych macierzach są przypadkowe. (ale nie ma tam parametrów).
Marek4444
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 1 sty 2014, o 21:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krakow
Podziękował: 1 raz

Dla jakich wartości układ równań jest sprzeczny (macierze) ?

Post autor: Marek4444 »

Dzięki wielki obliczyłem podanym przez Ciebie twierdzeniem i wynik jest taki sam więc chyba oba sposoby są dobre

Teraz mam pytanie jak rozwiązać taki przykład (tutaj już trzeba rozwiązać w zależności od a i b a nie wykazać tylko dla jakich a i b jest sprzeczny )????:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+2y+a^2z=1\\2x+4y+az=b\end{cases}}\)

Jeśli dobrze licze to sprzeczny jest dla \(\displaystyle{ a= 0}\) \(\displaystyle{ lub}\) \(\displaystyle{ a= \frac{1}{2}}\) \(\displaystyle{ i}\) \(\displaystyle{ b\neq2}\). Ale kiedy jest rozwiązywalny i jak wyznaczyć te rozwiązania w zależności od a i b ????
Rudis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 6 sty 2014, o 13:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brak
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 17 razy

Dla jakich wartości układ równań jest sprzeczny (macierze) ?

Post autor: Rudis »

Dobrze policzyłeś dla jakich wartości parametrów jest sprzeczny.
Twierdzenie Kroneckera-Capellego mówi również , ze :

1.Jeżeli rząd macierzy głównej, rząd macierzy uzupełnionej i liczba niewiadomych w układzie są równe \(\displaystyle{ (rz(A)=rz(U)=n)}\) to układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie.
2.Jeżeli rząd macierzy głównej jest taki sam jak rząd macierzy uzupełnionej, ale jest mniejszy od liczby niewiadomych \(\displaystyle{ (rz(A)=rz(U)<n)}\) to układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Twoja macierz moze mieć rząd jeden albo dwa.Do tego masz trzy niewiadome.Czyli odpada przypadek "1".
Więc z tego wynika ze jezeli będziesz miał takie a i b dla których \(\displaystyle{ rz(A)=rz(U)}\) to wtedy masz nieskończenie wiele rozwiązań zaleznych od jakiegoś parametru. Wybierz sobie jakiś parametr np. \(\displaystyle{ y=t \in R}\) i spróbuj rozwiązać.
ODPOWIEDZ