Wyznaczy wektory, wartości własne i bazy podprzestrzeni włas

[matinf]

Witam,
\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix}
2 &3 \\
4 & 3
\end{bmatrix}}\)
No więc wartości własne to:
\(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 6}\).
Wektory własne odpowiadające tym wartościom własnym to odpowiednio:
\(\displaystyle{ v_1 = [1,-1]\\
v_2 = [1, \frac{4}{3}]}\)
Ale to czego nie wiem to jak wyznaczyć bazy podprzestrzeni własnych.
Może ktoś podpowiedzieć jak ?

[rafalpw]

A w jaki sposób wyznaczałeś te wektory? Przestrzeń własna wyznaczona przez daną wartość własną \(\displaystyle{ \lambda}\) to są wszystkie rozwiązania układu \(\displaystyle{ \left( A-\lambda I\right)X=0}\) .

W tym przypadku dla \(\displaystyle{ \lambda =-1}\) dostajemy układ : \(\displaystyle{ [1,1]X=0}\) Widzimy, że rozwiązania są postaci \(\displaystyle{ [1,-1] \cdot t}\) , gdzie \(\displaystyle{ t \in \mathbb{R}}\)

Czy potrafisz znaleźć bazę tej przestrzeni?

Dla drugiej własności analogicznie.

[matinf]

Czy ja wiem czy potrafię. Nie wiem czy potrafię
Przede wszystkim o bazę jakiej przestrzeni pytasz ?
Proszę również o bycie bardziej szczegółowym.

[rafalpw]

Chodzi mi o bazę przestrzeni \(\displaystyle{ X=\left\{ \left( 1,-1\right)\cdot t : t\in \mathbb_R \right\}}\) .

[matinf]

potrafię generalnie to robić, ale tutaj się gubię.

[rafalpw]

Nie bardzo jest się gdzie gubić.

Bazą tej przestrzeni jest \(\displaystyle{ \left( \left( 1,-1\right) \right)}\) , bo jest liniowo niezależny (każdy jedno elementowy układ składający się z wektora niezerowego jest niezależny) i w oczywisty sposób generuje całą przestrzeń.

[matinf]

Ale ja poproszę o więcej:
Wiem jak wyznaczać wielomiany charakterystyczne i wartości własne.
Możesz pokazać na jakimś przykładzie jak wyznaczać bazę podprzestrzeni własnej ?

[rafalpw]

Przestrzeń własna wyznaczona przez daną wartość własną \(\displaystyle{ \lambda}\) to są wszystkie rozwiązania układu \(\displaystyle{ \left( A-\lambda I\right)X=0}\) .

Jak wiemy rozwiązania takiego układu są postaci: \(\displaystyle{ t_1v_1+...+v_kt_k}\) , gdzie \(\displaystyle{ \left( v_1,...,v_k\right)}\) jest liniowo niezależny, a \(\displaystyle{ t_1,...,t_k}\) są dowolnymi skalarami rzeczywistymi.

Wtedy bazą jest układ \(\displaystyle{ \left( v_1,...,v_k\right)}\).

Weźmy \(\displaystyle{ A=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \chi_A(\lambda)=\left( \lambda-1\right)\left( \lambda-2\right)^2}\)

Weźmy \(\displaystyle{ \lambda_1=1}\)

Układ sprowadza nam się do \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]X=0}\) , którego rozwiązaniem jest: \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right] t}\), gdzie \(\displaystyle{ t \in \mathbb{R}}\) , więc bazą tej podprzestrzeni jest \(\displaystyle{ \left( \left( 1,0,0\right) \right)}\).

Dla \(\displaystyle{ \lambda_2=2}\)

Rozwiązanie jest postaci \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] \cdot \left[ \begin{array}{c} t \\ s \end{array}\right]=\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1\\0\end{array}\right] \cdot t + \left[ \begin{array}{c} 0\\0 \\ 1\end{array}\right] \cdot s}\) , gdzie \(\displaystyle{ t,s \in \mathbb{R}}\)

Zatem bazą tej podprzestrzeni będzie: \(\displaystyle{ \left( \left( 0,1,0\right),\left(0,0,1 \right) \right)}\) .

[matinf]

Dzięki stary, jutro to przeanalizuję,-- 9 sty 2014, o 02:14 --wszystko super,
jeszcze tylko powiedz jak wyznaczać wektory własne