liniowa niezależność wektorów

[Martykinka14]

Korzystając z definicji wykaż liniową niezależność wektorów. Trochę już mam, ale nie wiem co dalej bo jak w przykładzie a) podstawię to wychodzi \(\displaystyle{ 0 = 0}\)

a)
\(\displaystyle{ v_1 = \left[ 1,2,-1\right], v_2 = \left[ -1,2,1\right]
\\
\alpha_1 \left[ 1,2,-1\right]+ \alpha_2 \left[ -1,2,1\right] = \left[ 0,0,0\right]
\\
\left[ \alpha_1, 2 \alpha_1, -\alpha_1\right] + \left[ - \alpha_2, 2 \alpha_2, \alpha_2\right] = \left[ 0,0,0\right]
\\
\begin{cases} \alpha_1 - \alpha_2 = 0 \rightarrow \alpha_1 = \alpha_2 \\ 2\alpha_1 + 2 \alpha_2 = 0 \\ - \alpha_1 + \alpha_2 = 0 \rightarrow \alpha_1 = \alpha_2 \end{cases} \right\}}\)

b)
\(\displaystyle{ v_1 = \left[ 1,2,-1\right],v_2 = \left[ -1,2,1\right], v_3 = \left[ -1,2,-1\right]
\\
\alpha_1 \left[ 1,2,-1\right] + \alpha_2 \left[ -1,2,1\right] + \alpha_3 \left[ -1,2,-1\right] = \left[ 0,0,0\right]
\\
\left[ \alpha_1, 2 \alpha_1, -\alpha1\right] + \left[- \alpha_2, 2 \alpha_2, \alpha_2 \right] + \left[ - \alpha_3, 2 \alpha_3, -\alpha3\right] = \left[ 0,0,0\right]
\\
\begin{cases} \alpha_1 - \alpha_2 - \alpha_3 = 0 \\ 2 \alpha_1 + 2 \alpha_2 + 2 \alpha_3 = 0 \\ -\alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3 = 0\end{cases}}\)

[a4karo]

drugie równanie a a) masz źle napisane
w b) rozwiąż ten układ równań i zobacz, co wyjdzie (wsk. drugie równanie możesz podzielić przez 2)

[Martykinka14]

\(\displaystyle{ a) v1 = \left[ 1,2,-1\right] v2 = \left[ -1,2,1\right]

\alpha1 \left[ 1,2,-1\right]+ \alpha2 \left[ -1,2,1\right] = \left[ 0,0,0\right]

\left[ \alpha1, 2 \alpha1, -\alpha1\right] + \left[ - \alpha2, 2 \alpha2, \alpha2\right] = \left[ 0,0,0\right]

\begin{cases} \alpha1 - \alpha2 = 0 \rightarrow \alpha1 = \alpha2 \\ 2\alpha1 + 2 \alpha2 = 0 \\ - \alpha1 + \alpha2 = 0 \rightarrow \alpha1 = \alpha2 \end{cases} \right\}

poprawiłam tylko teraz w drugim równaniu wychodzi, że \alpha1 = - \alpha2

b) v1 = \left[ 1,2,-1\right]v2 = \left[ -1,2,1\right] v3 = \left[ -1,2,-1\right]

\alpha1 \left[ 1,2,-1\right] + \alpha2 \left[ -1,2,1\right] + \alpha3 \left[ -1,2,-1\right] = \left[ 0,0,0\right]

\left[ \alpha1, 2 \alpha1, -\alpha1\right] + \left[- \alpha2, 2 \alpha2, \alpha2 \right] + \left[ - \alpha3, 2 \alpha3, -\alpha3\right] = \left[ 0,0,0\right]

\begin{cases} \alpha1 - \alpha2 - \alpha 3 = 0 \\ 2 \alpha1 + 2 \alpha2 + 2 \alpha3 = 0 | : 2 \\ -\alpha1 + \alpha2 - \alpha3 = 0\end{cases}

\begin{cases} \alpha1 - \alpha2 - \alpha 3 = 0 \\ \alpha1 + \alpha2 + \alpha3 = 0 \\ -\alpha1 + \alpha2 - \alpha3 = 0 \rightarrow \alpha2 = \alpha 1 + \alpha 3\end{cases}

\alpha 1 - \alpha 2 - \alpha 3 = 0

\alpha 1 - ( \alpha 1 + \alpha 3 ) - \alpha 3 = 0

- 2 \alpha 3 = 0 | : 2

\alpha 3 = 0

\alpha 1 - \alpha 2 - \alpha 3 = 0

- \alpha 1 - ( \alpha 1 + 0 ) - 0 = 0

- \alpha 1 - \alpha 1 = 0

- 2\alpha 1 = 0 | : 2

\alpha 1 = 0

\alpha 1 - \alpha 2 - \alpha 3 = 0

0 - \alpha 2 - 0 = 0

- \alpha 2 = 0

\alpha 2 = 0

\begin{cases} \alpha 1 = 0 \\ \alpha 2 = 0 \\ \alpha 3 = 0 \end{cases}}\)

[a4karo]

Czyli co wnioskujesz w przypadku b)?
Rozwiąż do końca układ z a)

[Martykinka14]

\(\displaystyle{ b) niezależny

a) wychodzi mi, że \alpha 1 = \alpha 2

\alpha 1 = - \alpha 2}\)

[rafalpw]

W tym drugi dodaj równania stronami i wyciągnij wnioski.

[Martykinka14]

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha1 - \alpha2 = 0 \rightarrow \alpha1 = \alpha2 \\ 2\alpha1 + 2 \alpha2 = 0 \rightarrow \alpha 1 = - \alpha 2 \\ - \alpha1 + \alpha2 = 0 \rightarrow \alpha1 = \alpha2 \end{cases} \right\}

więc chyba nie można tak zwyczajnie zrobić
\begin{cases} \alpha 1 = \alpha 2 \\ \alpha 1 = - \alpha 2\end{cases}

bo tam byłyby 3 równania
\begin{cases} \alpha 1 = \alpha 2 \\ \alpha 1 = - \alpha 2\ \\ \alpha 1 = \alpha 2 \end{cases}}\)

[a4karo]

ad a) trzecie rownanie nic nie wnosi nowego, bo jest takie same jak pierwsze. Co wynika z dwoch pierwszych?

[Martykinka14]

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha 1 = \alpha 2 \\ \alpha 1 = - \alpha 2\ \\ \end{cases}

2 \alpha 1 = 0 | : 2

\alpha 1 = 0

skoro \alpha 1 = \alpha 2

to \alpha 2 = 0

\begin{cases} \alpha 1 = 0 \\ \alpha 2 = 0 \end{cases}

są to wektory liniowo niezależne}\)

[rafalpw]

Zgadza się.