Podprzestrzenie liniowe

[jackiee]

Cze! Mam takie o to zadanie. Mam prośbę, czy ktoś mógłby sprawdzić, czy dobrze rozwiązałem dwa podpunkty i pomóc w ostatnim?

Sprawdź, czy dane zbiory W są podprzestrzeniami liniowymi odpowiednich przestrzeni liniowych V.
\(\displaystyle{ a) W_{1} = \{q(x) \in R_{3}[x]: q(0) = 1\}\\
b)W_{2} = \{q(x) \in R_{3}[x]: q(1) = 0\}\\
c)W_{3} = \{q(x) \in R_{3}[x]: q'(1) = 0\}, W_{3} = \{q(x) \in R_{3}[x]: \text{stopień wielomianu jest parzysty}\}\\
V=R_{3}(x)\\
a)\\
g(x) \in W_{1}, g(x) = ax^{3}+bx^{2} +cx +1\\
h(x) \in W_{1}, h(x) = Ax^{3}+Bx^{2} +Cx +1\\
\\
i(x) = g(x) + h(x) = (A+a)x^{3}+(B+b)x^{2} +(C+c)x + 2\\
i(0) = 2 \neq g(0) = h(0) = 1 \Rightarrow i(x) \neq W_{1} \Rightarrow W_{1} \neq V\\
\\
b)\\
g(x) \in W_{2}, g(x) = ax^{3}+bx^{2} +cx +d\\
g(1) = a + b + c +d = 0\\
\\
h(x) \in W_{2}, h(x) = Ax^{3}+Bx^{2} +Cx +D\\
h(1) = A + B + C + D\\
\\
i(x) = g(x) + h(x) = (A+a)x^{3}+ (B+b)x^{2} +(C+c)x +(D+d)\\
i(1) = A +B + C + D + a + b + c +d = 0\\
\\
\alpha \in Z\\
\alpha g(x) = \alpha (ax^{3}+bx^{2} +cx +d)\\
\alpha g(1) =\alpha \cdot 0 = 0\\
\\
i(1) = g(1) = h(1) = 0 \Rightarrow i(x) \in W_{2} \Rightarrow W_{2} \in V\\
\\
c)//}\)
Z podpunktem C mam problem, liczę na jakieś wskazówki

[yorgin]

\(\displaystyle{ a)\\
g(x) \in W_{1}, g(x) = ax^{3}+bx^{2} +cx +1\\
h(x) \in W_{1}, h(x) = Ax^{3}+Bx^{2} +Cx +1\\
\\
i(x) = g(x) + h(x) = (A+a)x^{3}+(B+b)x^{2} +(C+c)x + 2\\
i(0) = 2 \neq g(0) = h(0) = 1 \Rightarrow i(x) \neq W_{1} \Rightarrow W_{1} \neq V}\)

Brak jakiegokolwiek komentarza. Co to znaczy, że \(\displaystyle{ i(x)\neq W_1}\) oraz jak się ma \(\displaystyle{ W_1\neq V}\) do treści zadania?

\(\displaystyle{ b)\\
g(x) \in W_{2}, g(x) = ax^{3}+bx^{2} +cx +d\\
g(1) = a + b + c +d = 0\\
\\
h(x) \in W_{2}, h(x) = Ax^{3}+Bx^{2} +Cx +D\\
h(1) = A + B + C + D\\
\\
i(x) = g(x) + h(x) = (A+a)x^{3}+ (B+b)x^{2} +(C+c)x +(D+d)\\
i(1) = A +B + C + D + a + b + c +d = 0\\
\\
\alpha \in Z\\
\alpha g(x) = \alpha (ax^{3}+bx^{2} +cx +d)\\
\alpha g(1) =\alpha \cdot 0 = 0\\
\\
i(1) = g(1) = h(1) = 0 \Rightarrow i(x) \in W_{2} \Rightarrow W_{2} \in V}\)

\(\displaystyle{ W_2}\) nie może być elementem \(\displaystyle{ V}\). Brak jakiegokolwiek komentarza słownego.

\(\displaystyle{ c)}\)
Z podpunktem C mam problem, liczę na jakieś wskazówki

W c) są dwa warianty? Do pierwszego wykorzystaj liniowość pochodnej a do drugiego - zapisz ogólną postać wielomianu.

Poza uwagami powyżej (reszta ok) należy jeszcze dodać, że należy unikać zapisu \(\displaystyle{ h(x)\in V}\), lepiej pisać \(\displaystyle{ h\in V}\), gdyż \(\displaystyle{ h(x)}\) już sugeruje podstawione \(\displaystyle{ x}\). Nam chodzi nie o to, a o samą funkcję \(\displaystyle{ h}\).

[jackiee]

Ad 1. Podprzestrzeń liniowa \(\displaystyle{ W_{1}}\) sama w sobie nie jest przestrzenią liniową, więc nie może być podprzestrzenią przestrzeni V.

Ad 2. Podprzestrzeń liniowa \(\displaystyle{ W_{2}}\) sama w sobie jest przestrzenią liniową, więc jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V.

Dobrze to rozumuję?

Dzięki, za cenne wskazówki dotyczące zapisu.

[yorgin]

Ad 1. Podprzestrzeń liniowa \(\displaystyle{ W_{1}}\) sama w sobie nie jest przestrzenią liniową, więc nie może być podprzestrzenią przestrzeni V.

Ok.

Ad 2. Podprzestrzeń liniowa \(\displaystyle{ W_{2}}\) sama w sobie jest przestrzenią liniową, więc jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V.

O ile w pierwszym przykładzie to przechodziło, o tyle tutaj nie. Przestrzenie \(\displaystyle{ \RR^2\times \{0\}}\) oraz \(\displaystyle{ \{0\}\times \RR^2}\) są przestrzeniami liniowymi, ale żadna nie jest podprzestrzenią tej drugiej.

[jackiee]

Mógłbyś mi to trochę rozjaśnić? Nie do końca rozumiem tych podprzestrzeni liniowych.

[yorgin]

Podprzestrzeń liniowa \(\displaystyle{ W}\) przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) to taki podzbiór \(\displaystyle{ V}\), który spełnia dwa aksjomaty \(\displaystyle{ 0\in W}\) oraz \(\displaystyle{ x,y\in W\Rightarrow x+y\in W}\). Nie wystarczy więc wziąć byle jakich \(\displaystyle{ V}\) oraz \(\displaystyle{ W}\) i stwierdzić, że \(\displaystyle{ W}\) spełnia wymienione aksjomaty, by \(\displaystyle{ W}\) było podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\). Trzeba jeszcze odnotować to, że \(\displaystyle{ W\subset V}\).

W przykładzie drugim sprawdziłeś definicję podprzestrzeni dla \(\displaystyle{ W}\), ale komentarz jest niepoprawny. Lepiej byłoby napisać, że \(\displaystyle{ W\subset V}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\) na mocy tego, co zostało przez Ciebie wykazane.