Utożsamianie przestrzeni wielomianów z przestrzenią R

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
matinf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1922
Rejestracja: 26 mar 2012, o 18:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 695 razy
Pomógł: 4 razy

Utożsamianie przestrzeni wielomianów z przestrzenią R

Post autor: matinf »

Witam,
Weźmy przestrzeń\(\displaystyle{ R[x]_3}\) - przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej 3 -go o współczynnikach rzeczywistych. Zmienna też jest rzeczywista.

Czyli weźmy jakiś wektor tej przestrzeni:
\(\displaystyle{ 5x^3 + 6x + 101}\)
Czy ja mogę teraz go traktować \(\displaystyle{ (5, 6, 101)}\) ? Czy niesie to za sobą jakieś konsekwencje ?
Powiedzmy ktoś mówi, że uklad \(\displaystyle{ (1, x, x^2)}\)jest bazą \(\displaystyle{ R[x]_2}\) to czy ja mogę od razu powiedzieć, że
układ \(\displaystyle{ ([0,0,1], [0,1,0], [1,0,0])}\) jest bazą \(\displaystyle{ R^3}\) ? No widzę, że jest kanoniczną, ale czy to działa w ogólności ?


To o co pytam to na ile można mi utożsamiać takie "rzeczy"
szw1710

Utożsamianie przestrzeni wielomianów z przestrzenią R

Post autor: szw1710 »

\(\displaystyle{ 5x^3 + 6x + 101=5x^3 + 0x^2+6x + 101\sim(5,0,6,101)}\). To przestrzeń czterowymiarowa.

Ogólnie, jeśli masz \(\displaystyle{ \RR[x]_n}\), to odwzorowanie \(\displaystyle{ T:\RR[x]_n\to\RR^{n+1}}\) takie, że \(\displaystyle{ T(w)=(a_n,a_{n-1},\dots,a_1,a_0)}\), gdzie \(\displaystyle{ w(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0}\), ustanawia izomorfizm tych dwóch przestrzeni.

Tego rodzaju utożsamienie realizuje się w praktyce. Przecież w ten sposób możesz kodować wielomiany w programach komputerowych.
ODPOWIEDZ