Napinanie przestrzeni

[jaranna]

Sprawdź czy podany zbiór \(\displaystyle{ S}\) wektorów napina przestrzeń \(\displaystyle{ R ^{3}}\):
\(\displaystyle{ S =\left\{ (1,2,3), (0,1,2), (-2,0,1)\right\}}\)

Nie do końca rozumiem o co chodzi w tym zadaniu, czy powinnam sprawdzić czy wektory tego zbioru generują przestrzeń?

[Spektralny]

Pytanie jest o to czy ten zbiór rozpina (inaczej generuje) przestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\). Ponieważ masz 3 wektory w przestrzeni trójwymiarowej pytanie jest następujące:

czy zbiór \(\displaystyle{ S}\) jest liniowo niezależny?

Możesz to sprawdzić na wiele sposobów (np. z definicji). Możesz też ustawić te wektory w macierz i sprawdzić czy jej wyznacznik jest niezerowy.

[jaranna]

Obliczyłam wyznacznik, wyszedł równy \(\displaystyle{ -1}\) -czyli wektory są liniowo niezależne, czyli ich zbiór jest liniowo niezależny.
Z definicji czyli sprawdzając rząd macierzy zawierającej te wektory?

I to już jest całe rozwiązanie?

[Spektralny]

Z definicji byłoby wyjść od równości
\(\displaystyle{ a(1,2,3)+b(0,1,2)+c(-2,0,1)=(0,0,0)}\)
i pokazać, że musi być \(\displaystyle{ a=b=c=0.}\)

Nie do końca rozumiem o co chodzi w tym zadaniu, czy powinnam sprawdzić czy wektory tego zbioru generują przestrzeń?

\(\displaystyle{ n}\) liniowo niezależnych wektorów w przestrzeni \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowej jest jej bazą, więc w szczególności generuje całą przestrzeń.

[jaranna]

A dlaczego kombinacja liniowa tych wektorów musi być równa \(\displaystyle{ \vec{0}}\)?

[Spektralny]

A dlaczego kombinacja liniowa tych wektorów musi być równa \(\displaystyle{ \vec{0}}\)?

Kto napisał, że musi? Co to znaczy, że wektory są liniowo niezależne?

[jaranna]

A dlaczego kombinacja liniowa tych wektorów musi być równa \(\displaystyle{ \vec{0}}\)?

Kto napisał, że musi? Co to znaczy, że wektory są liniowo niezależne?

Pomyślałam tak, ponieważ napisałeś że z definicji przechodzimy do takiego równania...
Czyli tam gdzie wstawiłeś wektor \(\displaystyle{ \vec{0}}\) można wstawić dowolny wektor przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{3}}\) ?

Liniowo zależne czyli żaden wektor tej przestrzeni nie może być przedstawiony jako kombinacja liniowa pozostałych wektorów tej przestrzeni?