Baza a współrzędne i kolejność wektorów

[f[X]]

Z algebry liniowej jestem cienki, co zapewne zaraz się ujawni przy opisie mojego problemu

W skrypcie baza przestrzeni liniowej zdefiniowana jest jako "układ wektorów", spełniający wiadome założenia. Z biegiem czasu na uczelni zaczęto zapisywać bazy jako zbiory wektorów (także na wikipedii baza jest z definicji zbiorem).

No ale przykładowo wektor \(\displaystyle{ (1, 2, 3)}\) w bazie standardowej ma w bazie \(\displaystyle{ e_3, e_2, e_1}\) współrzędne \(\displaystyle{ (3, 2, 1)}\), więc kolejność ma znaczenie w tym przypadku. Czy to są inne bazy?

Sprawia mi problem zrozumienie tego, czym jest "układ wektorów" i dlaczego baza jest traktowana jako zbiór, a nie ciąg. To jest pewnie jakaś bardzo prosta rzecz, ale męczy mnie to już od dłuższego czasu i nie mogę sobie z tym poradzić.

[niebieska_biedronka]

Tak naprawdę zwykle posługujemy się (domyślnie) tzw. reperem bazowym, czyli bazą, w której została ustalona kolejność wektorów. Dlatego baza standardowa (kanoniczna) to \(\displaystyle{ (e_1, e_2, e_3)}\) i nie inaczej (zauważ nawiasy - okrągłe, a nie klamrowe, jak w zwykłym zbiorze!).

Szczerze mówiąc, rzadko w literaturze spotykam się z pojęciem repera bazowego, raczej po prostu mówi się o bazie. Myślę, że większość autorów po prostu domyślnie zakłada ustalenie kolejności wektorów, bo inaczej rzeczywiście byłby problem z identyfikacją współrzędnych dowolnego wektora z przestrzeni.

[yorgin]

Parę słów dodatku od siebie:

Tak naprawdę zwykle posługujemy się (domyślnie) tzw. reperem bazowym, czyli bazą, w której została ustalona kolejność wektorów. Dlatego baza standardowa (kanoniczna) to \(\displaystyle{ (e_1, e_2, e_3)}\) i nie inaczej (zauważ nawiasy - okrągłe, a nie klamrowe, jak w zwykłym zbiorze!).

I dlatego też ma znaczenie kolejność wektorów bazowych, które determinują również współrzędne danego wektora w bazie i tej czy innej kolejności.

Można też zauważyć, że przynajmniej w przypadku skończonych wymiarów przestrzeni, zmianie kolejności wektorów bazowych odpowiada izomorfizm, który jest zwykłą permutacją.

Szczerze mówiąc, rzadko w literaturze spotykam się z pojęciem repera bazowego, raczej po prostu mówi się o bazie.

A w geometrii różniczkowej pojęcie repera jest dość popularne. Pierwszy z brzegu - reper Freneta. Słowo to jeszcze wiele razy obijało mi się o uszy w czasie wykładu właśnie z geometrii różniczkowej.