Rzędy macierzy [kilka pytań]

Ceplusplusik · Post autor: **Ceplusplusik** » 2 sty 2014, o 15:36

Witam. Chciałbym zapytać o kilka rzeczy związanych z macierzami.
Według samej definicji rzędu, jest to liczba liniowo niezależnych wektorów, a więc kolumn lub wierszy w macierzy. I wspaniale, kiedy dany mamy wzór z E-trapezu, zawsze wszystko obliczymy.
Patrząc jednak czysto na chłopski rozum, znów kilka rzeczy się kłóci. Dajmy na to, macierz kwadratowa \(\displaystyle{ 3x3}\) ma wyznacznik niezerowy, jest wypełniona nie-zerami, na dodatek każda z liczb jest inna. Rząd jej zatem na pewno będzie trzy. Dlaczego więc nie... sześć, skoro w definicji wyraźnie zawarte jest słowo "lub", a macierz składa się z trzech wierszy i trzech kolumn (i każda z tych kolumn i każdy z tych wierszy, po odrębnym rozpatrzeniu, byłyby liniowo niezależne)?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 2 sty 2014, o 16:17

Ceplusplusik pisze: Pierwsza z nich: Według definicji wektora niezależnego istnieje on wtedy, kiedy wszystkie elementy tablicy wektorowej pomnożone przez określoną liczbę są niezerowe. Zatem rząd wektora wypełnionego tymi samymi liczbami będzie miał zawsze rząd zerowy. Tak?

Nie rozumiem pojęcia wektora niezależnego. Może niezależny liniowo, ale względem czego? Czy przez tablicę wektorową masz na myśli macierz utworzoną tak, że jej kolumnami są kolejne wektory?

Rząd wektora jako macierzy \(\displaystyle{ n \times 1}\) wypełnionego tymi samymi liczbami to \(\displaystyle{ 1}\).

Ceplusplusik pisze: Pytanie mnie intryguje, bo na E-trapezie Pan Karczyński jako rząd macierzy kwadratowej \(\displaystyle{ 2x2}\) o wyznaczniku zerowym wskazywał liczbę jeden (jako wyjątek podał same zera wypełniające macierz).

Ma rację

Ceplusplusik pisze: Ale przecież kiedy wypełnią ją te same liczby, to powinna ona z definicji mieć również zerowy rząd, więc powinien być dodany jeszcze jeden wyjątek.

Dlaczego zerowy rząd? Jaka jest definicja rzędu macierzy?

Ceplusplusik pisze: Kolejna rzecz, według samej definicji rzędu, jest to liczba liniowo niezależnych wektorów, a więc kolumn lub wierszy w macierzy. I wspaniale, kiedy dany mamy wzór z E-trapezu, zawsze wszystko obliczymy.

To raczej nie jest definicja, tylko równoważny opis rzędu za pomocą niezależności liniowej kolumn lub wierszy. Przynajmniej dla mnie tak jest.

Ceplusplusik pisze: Patrząc jednak czysto na chłopski rozum, znów kilka rzeczy się kłóci. Dajmy na to, macierz kwadratowa \(\displaystyle{ 3x3}\) ma wyznacznik niezerowy, jest wypełniona nie-zerami, na dodatek każda z liczb jest inna. Rząd jej zatem na pewno będzie trzy. Dlaczego więc nie... sześć, skoro w definicji wyraźnie zawarte jest słowo "lub", a macierz składa się z trzech wierszy i trzech kolumn (i każda z tych kolumn i każdy z tych wierszy, po odrębnym rozpatrzeniu, byłyby liniowo niezależne)?

Jak zrobię 4 zadania lub 5 zadań, to zrobię 9 zadań?

Ceplusplusik pisze: Już po raz kolejny rozpatruję definicje matematyczne i spotykam się z totalną nieadekwatnością do treści, które się na ich podstawie rozwiązuje.

Nie jest to nieadekwatność, lecz niezrozumienie pojęcia lub jego błędna interpretacja.

Ceplusplusik · Post autor: **Ceplusplusik** » 2 sty 2014, o 16:52

Więc, po kolei. Pierwsza rzecz: Chodziło mi uprzednio oczywiście o wektor niezależny liniowo. Następnie w momencie, jak już tworzyłeś wypowiedź, skasowałem całe pierwsze pytanie. Popełniłem błąd prościutki, przemnażając według definicji dajmy na to macierz jednowierszową wypełnioną siódemkami przez liczbę odwrotną i nie wiedząc czemu, uznałem wynik za zero .

Jak zrobię 4 zadania lub 5 zadań, to zrobię 9 zadań?

Więc skoro macierz ma cztery wiersze liniowo niezależne i pięć kolumn liniowo niezależnych, jej rząd będzie wynosił cztery czy pięć? Coś to musi determinować, a na podstawie definicji (bądź na podstawie "równoważnego opisu rzędu za pomocą niezależności liniowej kolumn lub wierszy") nie sposób tego określić, jeśli nie przejdziemy do rozwiązywania za pomocą wzorów. Fakt, popełniam gdzieś błąd interpretacyjny, wolę go jednak zrozumieć, niż wykonywać bezgłowo wszystkie procedury, nie widząc nawet sensu ich działania. Stąd proszę o pomoc. Pozdrawiam.

yorgin · Post autor: **yorgin** » 2 sty 2014, o 17:05

Ceplusplusik pisze: Więc skoro macierz ma cztery wiersze liniowo niezależne i pięć kolumn liniowo niezależnych, jej rząd będzie wynosił cztery czy pięć?

Cztery.

Ceplusplusik · Post autor: **Ceplusplusik** » 2 sty 2014, o 17:30

Oczywiście mam na myśli sam sposób dojścia do tej odpowiedzi bez korzystania z wzorów polegających na ciągłym wykreślaniu i dodawaniu kolumn/wierszy.

yorgin · Post autor: **yorgin** » 2 sty 2014, o 18:21

Ceplusplusik pisze:Oczywiście mam na myśli sam sposób dojścia do tej odpowiedzi bez korzystania z wzorów polegających na ciągłym wykreślaniu i dodawaniu kolumn/wierszy.

Jakież to wzory polegają na wykreślaniu kolumn/wierszy? Nie znam takich.

Jak rozumiem z tej wypowiedzi, chcesz znaleźć rząd macierzy bez stosowania operacji elementarnych na kolumnach/wierszach? Wtedy możesz alternatywnie policzyć wymiar jądra lub obrazu macierzy.

Ceplusplusik · Post autor: **Ceplusplusik** » 2 sty 2014, o 18:41

Operację elementarną potocznie nazywam "wykreślaniem".
Mam na myśli, że jeżeli jest, załóżmy, macierz dwuwierszowa i ośmiokolumnowa, to jej rząd będzie w takim razie wynosił maksymalnie dwa, tak?
Chciałem zapytać, co determinuje, że zachodzi akurat takie zdarzenie? Wybacz, poprzednio źle skonstruowałem pytanie .

yorgin · Post autor: **yorgin** » 2 sty 2014, o 18:50

Ceplusplusik pisze: Mam na myśli, że jeżeli jest, załóżmy, macierz dwuwierszowa i ośmiokolumnowa, to jej rząd będzie w takim razie wynosił maksymalnie dwa, tak?

Tak.

Ceplusplusik pisze: Chciałem zapytać, co determinuje, że zachodzi akurat takie zdarzenie?

Takie, tzn jakie, które?

Ceplusplusik · Post autor: **Ceplusplusik** » 2 sty 2014, o 21:33

Ceplusplusik pisze: Chciałem zapytać, co determinuje, że zachodzi akurat takie zdarzenie?
Takie, tzn jakie, które?

Według początkowego opisu, o którym wspominałem, rząd macierzy to ilość niezależnych liniowo wektorów lub kolumn. Więc jeśli macierz ma dwa niezależne liniowo wektory w postaci wierszy i aż osiem w postaci kolumn, to dlaczego jej rząd wynosi i tak dwa?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 2 sty 2014, o 22:07

Ceplusplusik pisze:Według początkowego opisu, o którym wspominałem, rząd macierzy to ilość niezależnych liniowo wektorów lub kolumn. Więc jeśli macierz ma dwa niezależne liniowo wektory w postaci wierszy i aż osiem w postaci kolumn, to dlaczego jej rząd wynosi i tak dwa?

Myślę, że te wszystkie nieporozumienia wynikają z tego, iż nie kojarzysz albo nie znasz następującego faktu:

Macierz ma \(\displaystyle{ k}\) liniowo niezależnych wierszy wtedy i tylko wtedy, gdy ma \(\displaystyle{ k}\) liniowo niezależnych kolumn.

Stąd też nie ma znaczenia czy sprawdzamy kolumny, czy wiersze. Stąd też macierz \(\displaystyle{ 11 \times 123}\) może mieć co najwyżej rząd \(\displaystyle{ 11}\) oraz jeżeli ma \(\displaystyle{ 13}\) liniowo niezależnych kolumn, to mamy błąd w rachunkach.

Ceplusplusik · Post autor: **Ceplusplusik** » 2 sty 2014, o 23:06

I to jest właśnie ta luka, do której zmierzałem. Pozdrawiam i dziękuję.