przestrzeń liniowa, a przestrzeń współrzędnych

[tukanik]

Jak w temacie, na czym polega różnica?

[szw1710]

Przestrzenią współrzędnych nazywamy przestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{K}^n}\) nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\) z działaniami określonymi tradycyjnie. Jest to wtedy przestrzeń liniowa. Nie każda przestrzeń liniowa jest przestrzenią współrzędnych. Chociażby przestrzeń \(\displaystyle{ C[0,1]}\) czy każda nieskończenie wymiarowa przestrzeń liniowa. Także nie każda przestrzeń skończenie wymiarowa jest przestrzenią współrzędnych. Np. przestrzeń wielomianów stopnia nie większego niż \(\displaystyle{ n}\). Ilu wymiarowa ona jest? Ale każda przestrzeń skończenie wymiarowa jest izomorficzna z przestrzenią współrzędnych. W moim przykładzie wielomian utożsamiamy z wektorem jego współczynników.

[tukanik]

Ilu wymiarowa ona jest?

\(\displaystyle{ n+1}\)
Ok, a mógłbyś wspomóc mnie jakimś przykładem pokazującym ten zachodzący izomorfizm?

[szw1710]

Cytuj lepiej. Chyba tylko my dwaj wiemy o co chodzi. A posty mają być użytku ogólnego.

Tak. Przecież mówiłem jak...

Np. przestrzeń \(\displaystyle{ V}\) wielomianów stopnia \(\displaystyle{ \le 2}\) jest trójwymiarowa. Wielomianowi \(\displaystyle{ w(x)=ax^2+bx+c}\) przypisujesz wektor \(\displaystyle{ (a,b,c)}\). Masz w ten sposób określone odwzorowanie \(\displaystyle{ \Phi:V\to\RR^3}\). Pokaż, że jest ono izomorfizmem. A pierwsze pytanie brzmi: dlaczego \(\displaystyle{ \Phi}\) jest dobrze określone (tj. dlaczego w ogóle jest funkcją)?

[Spektralny]

Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie \(\displaystyle{ n}\)-wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\). Ustalmy bazę \(\displaystyle{ (b_1, \ldots, b_n)}\) przestrzeni \(\displaystyle{ V}\). Każdy wektor \(\displaystyle{ x\in V}\) ma jednoznaczne przedstawienie

\(\displaystyle{ x = c_1(x) b_1 + \ldots c_n(x)b_n}\)

gdzie \(\displaystyle{ c_1(x), \ldots, c_n(x)}\) są pewnymi skalarami. Odwzorowanie \(\displaystyle{ f\colon V\to \mathbb{K}^n}\) dane wzorem

\(\displaystyle{ f(x) = \big(c_1(x), \ldots, c_n(x) \big)\;\;\;(x\in V)}\)

jest izomorfizmem przestrzeni liniowych.

[tukanik]

\(\displaystyle{ (a,b,c).}\) Masz w ten sposób określone odwzorowanie \(\displaystyle{ \Phi:V\to\RR^3}\). Pokaż, że jest ono izomorfizmem. A pierwsze pytanie brzmi: dlaczego \(\displaystyle{ \Phi}\)jest dobrze określone (tj. dlaczego w ogóle jest funkcją)?

Jest funkcją, bo dla każdego wielomianu istnieje tylko jeden wektor jego współczynników. Tzn., wielomian jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje współczynniki.

[szw1710]

O to mi chodziło.

[tukanik]

a teraz żeby pokazać, że jest ta funkcja izomorfizmem muszę pokazać, że zachowuje ona strukturę. Nie bardzo jednak wiem, co to znaczy.?

[rafalpw]

Przekształcenie jest izomorfizmem jeśli jest liniowe oraz istnieje przekształcenie do niego odwrotne, które również jest liniowe.

[szw1710]

Za dużo wymagasz. Odwzorowane odwrotne do liniowego jest zawsze liniowe. Wystarczy sprawdzić, że odwzorowanie jest liniową bijekcją.

[tukanik]

Dobra, bo zaczynam się gubić:
Rozumiem, że izomorfizm jest przekształceniem, który spełnia dwa warunki. I niezależnie od tego , czy jest to izomorfizm grup, czy przestrzeni czy czegoś tam jeszcze jest to przekształcenie spełniające te same warunki, tj. liniowość i bijektywność? Czy tak?

Ciągle mam natłok w głowie z tym izomorfizmem, ale to chyba przez to, że to zupełnie nowe pojęcie. szw1710, jeżeli możesz, czy możesz mi zadać jakieś zadanie tutaj, które mi to w pewien sposób wyklaruje? Nie przypadkowo proszę Ciebie, bo niejednokrotnie sam z siebie dawałeś mi tutaj zadanie, miałeś w tym zamierzony słuszny cel. Wiesz po prostu o co zapytać

[szw1710]

Liniowość to addytywność \(\displaystyle{ f(x+y)=f(x)+f(y)}\) i jednorodność \(\displaystyle{ f(\alpha x)=\alpha f(x)}\). Tego drugiego warunku nie da się zażądać w przypadku homomorfizmów (izomorfizmów) grup. W pierścieniach dochodzi warunek multyplikatywności \(\displaystyle{ f(xy)=f(x)f(y)}\). To coś zupełnie innego niż jednorodność. Bijektywny homomorfizm jest izomorfizmem.

Jakie zadania mam Ci zadać? Sprawdź czy podane przekształcenia są liniowe (o tym jest zasadnicza dyskusja) oraz które z nich są izomorfizmami.

1. \(\displaystyle{ f:\RR^3\to\RR^2}\), \(\displaystyle{ f(x,y,z)=(x+y,y+1)}\).

2. \(\displaystyle{ f:\RR^2\to\RR^2}\), \(\displaystyle{ f(x,y)=(3x-5y,x+7y)}\).

3. \(\displaystyle{ f:\RR^2\to\RR^2}\), \(\displaystyle{ f(x,y)=(x+y,2x+2y)}\).

4. \(\displaystyle{ V}\) - przestrzeń trójmianów kwadratowych postaci \(\displaystyle{ x\mapsto ax^2+bx}\). \(\displaystyle{ W}\) - przestrzeń funkcji liniowych postaci \(\displaystyle{ x\mapsto ax+b}\). Sam określ izomorfizm pomiędzy tymi przestrzeniami.

5. \(\displaystyle{ V}\) - przestrzeń liniowa funkcji \(\displaystyle{ \varphi:\RR\to\RR}\). \(\displaystyle{ f:V\to\RR}\), \(\displaystyle{ f(\varphi)=\varphi(0)}\).

6. \(\displaystyle{ W}\) - przestrzeń liniowa funkcji różniczkowalnych \(\displaystyle{ \varphi:\RR\to\RR}\), \(\displaystyle{ V}\) - jak w poprzednim zadaniu. \(\displaystyle{ f:V\to W}\), \(\displaystyle{ f(\varphi)=\varphi'}\).

[tukanik]

dziękuję
( w piątek do tego powrócę)