baza, wymiar oraz macierz przejscia

[ziomalok19]

Mam 2 zadania które już w dużej mierze zrobiłem ale chcialbym się upewnić czy poprawnie i prosic o pomoc przy dokończeniu ich.
1. Podać bazę i wymiar zbioru \(\displaystyle{ V = \{( x_{1},x_{2},x_{3}) \in \RR ^{3} : 3x_{1}-4x_{2} = 2 x_{3} \}}\)
Przeniosłem ten jeden wyraz na jedną stronę i dostałem \(\displaystyle{ 3x_{1}-4x_{2} -2 x_{3}=0}\) wyznaczyłem \(\displaystyle{ x_{1} = \frac{4}{3}x_{2}+ \frac{2}{3} x_{3}}\) stąd dostałem 2 wektory:
\(\displaystyle{ (\frac{4}{3},1,0), (\frac{2}{3},0,1)}\). Sprawidzłem i wyszło mi że są one liniowo nieżalezne i generują całe \(\displaystyle{ V}\). Czy w takim razie \(\displaystyle{ \mbox{dim}\ V = 2}\) ?

2. Wyznaczyć macierz przejścia od bazy \(\displaystyle{ (1,1), (3,1)}\) do bazy \(\displaystyle{ (3,1),(-1,2}\)) w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR ^{2}}\). Wyznaczyć rozkład wektora \(\displaystyle{ (1,-1)}\) w obu bazach. Sprawdzić wzór \(\displaystyle{ v_{Bs} = P v _{Bn}}\).
Macierz wyznaczyłem wyszła mi : \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}0&3,5\\1&-1,5\end{array}\right]}\)
Rozkład tez zrobiłem tylko nie wiem czy dobrze: wyszlo mi dla starej bazy \(\displaystyle{ a=-2,b=1}\) a dla nowej \(\displaystyle{ b=- \frac{4}{7}, a= \frac{1}{7}}\).
Kłopot mam z druga częścią zadania bo stosując ten podany wzór cos mi nie wychodzi poprawny wynik.
Prosze o pomoc.

[szukampomocy90]

Sprawdzi ktos?

[rafalpw]

1. Dobrze.

2. Nie wiem, czy macierz jest dobrze wyznaczona, bo tego nie widać na pierwszy rzut oka. Pokaż jak liczyłeś to powiem, czy dobrze. Nie rozumiem drugiej części polecenia: "Sprawdź wzór: \(\displaystyle{ v_{Bs} = P v _{Bn}}\) ".

[ziomalok19]

Macierz przejscia \(\displaystyle{ P}\) obliczyłem ze wzoru \(\displaystyle{ P = Bs ^{-1} \cdot Bn}\)
Czyli \(\displaystyle{ P= \left[\begin{array}{cc}1&3\\1&1\end{array}\right] ^{-1} \cdot \left[\begin{array}{cc}3&-1\\1&2\end{array}\right]}\) i wyszlo mi \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}0&3,5\\1&-1,5\end{array}\right]}\).

W tym wypadku rozkład wektora jest poprawny?

Ten wzór \(\displaystyle{ v_{Bs} = P v _{Bn}}\) miałem podany na wykładzie (w definicji macierzy przejścia) i teraz w poleceniu znowu go mam, ale kompletnie nie rozumiem jak go zastosowac. Zapis chyba świadczy o tym że wektor bazy starej jest równy macierzy przejścia pomnozonej przez wektor bazy nowej. Tylko czy to ma sens ? (Dodam tylko że to "s" jest indeksem dolnym B, które jest z kolei indeksem dolnym "v" tak dla pewności )