Ja bazę wyznaczam albo intuicyjnie, albo posługuję się operacjami elementarnymi na macierzy.davidd pisze:heh, sam właśnie w ten sposób wyznaczam bazę, ale nie wiadomo czemu źle policzyłem to Gaussem.. Ty jakoś inaczej to liczyłeś? Można jakoś szybciej wyliczyć rozwiązania ?
Jak chcesz bazę przestrzeni zawierającej ten wektor, to po prostu dołączasz go do reszty rodzinki i liczysz wszystko z jednym wektorem więcej.davidd pisze: No i w treści zadania jest 'wyznaczyć bazę przestrzeni układu zawierającą ten wektor', to jest dodatkowo, a nie ma w sumie wpływu na wyznaczenie bazy.. to mnie zmyliło
Chyba tak się mówi . W każdym razie te liczby mogą być dowolne i to jest tu najważniejsze. To one są parametrami kombinacji liniowych przestrzeni bazowych. Ale to ja chyba za bardzo naciągam słownictwo.davidd pisze: Do 2: np. w poprzednim zadaniu \(\displaystyle{ x _{3}=t, x_{4}=s, x_{5}=z}\) i one 'są parametrami' mówiąc potocznie, w dodatku tylko przeze mnie bo zapewne nie jest to prawda
\(\displaystyle{ s, t, z}\) są dowolne. Zauważ, że każdy z nich w rozwiązaniu ogólnym występuje osobno na jednej współrzędnej i takich współrzędnych "pojedynczych" jest tyle, ile jest tych "dowolnych". W rozbiciu rozwiązania ogólnego na kombinację liniową pojawiają się człony \(\displaystyle{ [\ldots,\ldots,1,0,0], [\ldots,\ldots,0,1,0], [\ldots,\ldots,0,0,1]}\) skojarzone z każdą z liczb \(\displaystyle{ s, t, z}\). Ponieważ każdy z takich wektorów ma w odpowiednich wyróżnionych miejscach dokładnie jedną jedynkę i reszta to zera, to takie wektory są liniowo niezależne. Każda taka "dowolna" liczba, każdy "parametr" daje jedną jedynkę i garść zer oraz wyznacza wektor liniowo niezależny.yorgin pisze:Wróćmy do pierwszego zadania.
Rozwiązanie wyszło takie:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x _{1} = -2t-s-2z \\ x _{2} = -3t - s -4z \\ x _{3} = t \\ x _{4} = s \\ x _{5} = z \end{cases}}\)
Można każde rozwiązanie zapisać tak:
\(\displaystyle{ [-2t-s-2z,-3t-s-4z,t,s,z]=t[-2,-3,1,0,0]+s[-1,-1,0,1,0]+z[-2,-4,0,0,1]}\)
Stąd wynika, że przestrzeń rozwiązań jest rozpięta na wektorach
\(\displaystyle{ [-2,-3,1,0,0],[-1,-1,0,1,0],[-2,-4,0,0,1]}\)
Wektory są liniowo niezależne, a więc stanowią bazę rozwiązań.
Z tym mam problem. Bazę przestrzeni będzie mogła tworzyć każda trójka podanych wektorów, tak?yorgin pisze:Jak już pisałem, to jest za mało. Aby pokazać, że wymiar wynosi \(\displaystyle{ 3}\) musisz znaleźć \(\displaystyle{ 3}\) liniowo niezależne wektory. Powyżej stwierdzasz tylko, że jeden z czterech wektorów jest kombinacją liniową pozostałych, a więc są co najwyżej \(\displaystyle{ 3}\) liniowo niezależne wektory. Brakuje pokazania, że są co najmniej \(\displaystyle{ 3}\).davidd pisze: Przypomnę może jeszcze to druge zadanie z którym mam problem, bo podejrzewam, że namieszałem:
Dla podanych wektorów: \(\displaystyle{ v _{1} = (1,0,-2,3) v _{2} = (0,-1,1,2) v _{3} = (3,0,-2,1) v _{4} = (-2,1,-1,0)}\) określamy \(\displaystyle{ V = lin \{ v _{1}, v _{2}, v _{3}, v _{4} \}}\)
a) Spośród podanych wektorów wybrać taki układ, który tworzy bazę przestrzeni \(\displaystyle{ V}\).
b) Sprawdzić, czy wektor \(\displaystyle{ U= (5,-2,0,3)}\) należy do przestrzeni \(\displaystyle{ V}\). Jeżeli tak, to przedstawić wektor u w postaci kombinacji liniowej wektorów bazy przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) wybranej w punkcie a (inaczej: wyznaczyć współrzędne wektora \(\displaystyle{ U}\) w tej bazie).
Tak jak pisałem - rozwiązałem metodą Gaussa i otrzymałem równanie:
\(\displaystyle{ -tv _{1} + v _{2} +tv _{3} + t v _{4} = 0}\)
rozmiar przestrzeni wynosi \(\displaystyle{ 3}\)
Po prostu wybierz jakieś trzy wektory i sprawdź, czy są liniowo niezależne. Nic więcej nie musisz tutaj robić. Chyba, że nie znajdziesz trzech liniowo niezależnych, to wtedy szukasz dwóch takich (ale w tym zadaniu znajdziesz trzy).davidd pisze: Z tym mam problem. Bazę przestrzeni będzie mogła tworzyć każda trójka podanych wektorów, tak?
Mam jednak problem, bo jak wcześniej bazę wyznaczały mi 'wektory parametryczne', to tutaj ten schemat chyba nie działa, bo otrzymałem tylko 1 parametr i tak jak napisałeś oznacza to, że jeden wektor jest kombinacją pozostałych...