liniowa zaleznosc

[duze_jablko2]

Sprawdzić, czy układ \(\displaystyle{ 1, x, \arctan x, \sin x}\) jest liniowo niezależny w \(\displaystyle{ C(\RR)}\)

[szw1710]

Układ funkcji \(\displaystyle{ (1,x,\sin x)}\) jest liniowo niezależny, bo sinus nie jest funkcją liniową, a układ \(\displaystyle{ (1,x)}\) jest liniowo niezależny w sposób oczywisty. Wystarczy więc sprawdzić, że nie można arcus tangensa przedstawić w postaci kombinacji liniowej \(\displaystyle{ a+bx+c\sin x}\). To powinno się dać łatwo zrobić. Np. dla \(\displaystyle{ x=0}\) mamy \(\displaystyle{ a=0}\), więc musielibyśmy mieć \(\displaystyle{ \arctg x=bx+c\sin x}\). Dla \(\displaystyle{ x=1}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}=b+c\sin 1}\), dla \(\displaystyle{ x=\sqrt{3}}\) mielibyśmy inne równanie, weźmy jeszcze \(\displaystyle{ x=\frac{\sqrt{3}}{3}}\), i równanie otrzymane tutaj będzie w sprzeczności z poprzednimi dwoma. Tak chyba bym to pokazywał. Jest jeszcze kryterium wyznacznikowe:

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
1&1&1&1\\
x&y&z&t\\
\sin x&\sin y&\sin z&\sin t\\
\arctg x&\arctg y&\arctg z&\arctg t
\end{vmatrix}\ne 0}\)

dla wszystkich \(\displaystyle{ x<y<z<t}\). Ale to raczej trudne do sprawdzenia.

[a4karo]

Możesz też założyć, że \(\displaystyle{ a+bx+c\sin x+d\arctg x\equiv 0}\) i popatrzeć jak się zachowuje pochodna dla dużych \(\displaystyle{ x}\)