Baza obrazu przekształcenia liniowego

[kalwi]

przykład:
\(\displaystyle{ \varphi: \ \RR_2\left[ x\right] \rightarrow \RR^3 \ \ \varphi\left( ax^2+bx+c\right)=\left( 2c-3a-b, a-b, c-2b\right)}\)

i bazę jądra łatwo wyznaczyć (obrazu pewnie też, tylko nie wiem w jaki sposób)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2c-3a-b=0\\ a-b=0 \Rightarrow a=b \\ c-2b=0 \Rightarrow c=2b=2a\end{cases} \\ ker \varphi = \left\{ a\left( x^2+x+2\right) \right\}=Lin\left\{ x^2+x+2\right\}}\)

no i czy mógłby mi ktoś powiedzieć, jak wyznaczyć bazę obrazu?

[Qń]

\(\displaystyle{ \left( 2c-3a-b, a-b, c-2b\right)=a (-3,1,0) + b( -1,-1,-2) + c(2,0,1)}\)
a stąd wniosek, że
\(\displaystyle{ Im\varphi = lin \{ (-3,1,0) ,( -1,-1,-2) ,(2,0,1)\}}\)
i dalej chyba wiadomo.

Q.

[kalwi]

mhm, czyli to jest liniowo zależny układ, więc wyrzucam jeden z wektorów i tyle?

[Qń]

Mówiąc ściśle: wybierasz maksymalny liniowo niezależny podzbiór wektorów. Co akurat w tym wypadku istotnie sprowadza się do wyrzucenia jednego z wektorów.

Q.

[kalwi]

ok, dzięki. Jeszcze tylko mam wątpliwość co do tego przykładu:

\(\displaystyle{ \varphi: \RR^3 \rightarrow \RR^2 \ \ (x,y,z) \rightarrow (3z-x,0) \\ (3z-x,0)=x(-1,0)+z(3,0)}\)

to tu bazą obrazu będzie na przykład \(\displaystyle{ (-1,0)}\)?

[Qń]

Tak, baza może się tu składać z tego jednego elementu.

Q.