Muszę rozwiązać parę zadań, problem w tym że nie wiem czy dobrze to robię gdyż nie posiadam wyników.
Polecenie:
Dla danego przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ f}\) wyznaczyć wymiary Ker \(\displaystyle{ f}\) i Im \(\displaystyle{ f}\) jeżeli:
A) \(\displaystyle{ f : R ^{3} \rightarrow R ^{2} , f((x1, x2, x3)) = (x _{1} , x _{2} + 2x _{3} ).}\)
1)liczę \(\displaystyle{ ker f}\) czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{1} =0\\x _{2} +2x _{3} =0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x _{1} =0\\x _{2}=-2x _{3}&\text{wniosukję że obraz generowany jest tylko z tego wektora}\end{cases}}\)
czyli \(\displaystyle{ dim ker f = 1}\)
teraz opierając się na wzorkach: (pewnie błędnie )
mam taki wzór: \(\displaystyle{ Rzf + dimkerf =dimV}\) podstawiam wyliczony \(\displaystyle{ dimkerf}\) ,a pod \(\displaystyle{ dimV}\) podstawiam 3? bo \(\displaystyle{ R ^{3}}\) ?? \(\displaystyle{ A : V \rightarrow W}\) - wikipedia
kolejny wzorek: \(\displaystyle{ dimimA =Rzf \Rightarrow dimimf =2}\)??
i tu mam kolejne pytanie gdyż w innych przykładach widziałem odp w stylu(przykład): \(\displaystyle{ imf=lin{(1,1,0),(-1,1,1)}}\) jak do czegos takiego dojść?
[edit] poszperałem na tutejszym forum i wywnioskowałem coś takiego:
\(\displaystyle{ imf={x _{1} (1,0),x _{2} (0,1),x _{3} (0,1),x _{1},x _{2},x _{3} \in \mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ lin={(1,0),(0,1),(0,1)}}\)
i z tego wychodzi ze baza obrazu to : \(\displaystyle{ Lin={(1,0),(0,1)}}\) =2? i potwierdzało by to moje powyższe wypociny ze \(\displaystyle{ rz f = 2}\)?
Kolejny przykład
C)\(\displaystyle{ f : R ^{3} \rightarrow R ^{3} , f((x _{1}, x _{2}, x _{3} )) = (x_{1}, x_{2} + x_{3}, x_{1} + x_{2} + x_{3}).}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{1}=0\\x _{2}+x _{3} =0\\x _{1}+ x _{2}+x _{3} =0\end{cases} \Rightarrow
\begin{cases} x _{1}=0\\x _{2}=-x _{3}\\x _{2}=-x _{3}&\text{wniosukję że obraz generowany jest tylko z tego wektora}\end{cases}}\)
pytanie jak powyżej jak zapisać inaczej \(\displaystyle{ dimkerf=1}\)?
przy okazji kilka pytań TAK/NIE
dobrze to wgl licze?
czy rząd macierzy = [tex[dimkerf[/latex]?
czy można liczyć rząd macierzy nie kwadratowej ?
Serdecznie dziękuję wszystkim którzy zechcą okazać mi swą pomoc.