Przekształcenia liniowe

[princess691]

Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią liniową nad ciałem \(\displaystyle{ K}\). Dla przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ \phi: V \rightarrow V}\) i \(\displaystyle{ m \ge 0}\) przekształcenie \(\displaystyle{ \phi^m : V \rightarrow V}\) definiujemy jako złożenie m egzemplarzy \(\displaystyle{ \phi(\phi^0=id_v; \phi^{m+1}=\phi^m\circ\phi=\phi\circ\phi^m).}\)
a) Pokazać, że \(\displaystyle{ ker\phi^m \subset ker\phi^{m+1}}\) dla \(\displaystyle{ m \ge 0}\)
b) Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ ker\phi^{m+1}=ker\phi^m}\) dla pewnego \(\displaystyle{ m \ge 0}\), to \(\displaystyle{ ker\phi^m=ker\phi^{m+k}}\) dla \(\displaystyle{ k \ge 0}\).

[LeoBolzano]

Co do pierwszego:

Weźmy \(\displaystyle{ v \in \ker \phi^{m}}\). Tzn., że \(\displaystyle{ \phi ^{m}(v)= 0}\).

Stąd: \(\displaystyle{ \phi ^{m+1}(v)=(\phi \circ \phi ^{m})(v)=\phi(\phi^{m}(v))=\phi(0)=0}\), bo \(\displaystyle{ \phi}\) jest liniowe i w związku z tym przeprowadza 0 na 0. A to znaczy, że \(\displaystyle{ v \in \ker \phi^{m+1}}\).

[princess691]

Dziękuję, a co z drugim?
Jest ktos w stanie pokazać jak to rozwiązac?