Macierz odwrotna

ratini · Post autor: **ratini** » 15 gru 2013, o 17:58

Pomoże mi ktoś zrobić macierz odwrotną wraz z rozwiązaniem krok po kroku do przykładu:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&3&4&5\\3&0&0&2\\5&1&2&7\\2&0&0&3\end{array}\right]}\)

rtuszyns · Post autor: **rtuszyns** » 15 gru 2013, o 18:15

Dodaj wiersz drugi do czwartego. Potem odejmij od czwartej kolumny pierwszą. Łatwo teraz obliczyć wyznacznik.
Następnie postępuj wg wzoru na macierz odwrotną...

ratini · Post autor: **ratini** » 15 gru 2013, o 18:29

Uprzedzam że jestem z macierzy ciemny. Nie rozumiem po co mam obliczać wyznacznik do macierzy odwrotnej.

rtuszyns · Post autor: **rtuszyns** » 15 gru 2013, o 18:34

ratini pisze:Nie rozumiem po co mam obliczać wyznacznik do macierzy odwrotnej.

To spójrz na wzór na macierz odwrotną. Tam jest wyznacznik macierzy i dużo od niego zależy...
Wymówka, że "jesteś ciemny z macierzy" nie stoi na przeszkodzie aby wykazać trochę chęci.
Gotowca nie dostaniesz...
Znajdź wzór na macierz odwrotną - właśnie od tego zacznij...

ratini · Post autor: **ratini** » 15 gru 2013, o 18:42

rtuszyns pisze: To spójrz na wzór na macierz odwrotną.

I właśnie patrzę może nie na wzór ale na przykłady robione przez profesora na zajęciach, i które robiliśmy grupą i jakoś [ciach] w ani jednym przykładzie nie widzę liczenia wyznacznika. Więc wybacz mi bardzo ale bardzo bym jednak prosił o gotowca bo już sam nie wiem jak to zrobić.

rtuszyns · Post autor: **rtuszyns** » 15 gru 2013, o 18:52

Gotowca i tak nie będzie.
Napisz tu ten wzór jaki masz na macierz odwrotną i coś będziemy działać...

ratini · Post autor: **ratini** » 15 gru 2013, o 19:03

Czystego wzoru nie mam. Nauczyłem się odwracać na lekcji oglądając jak to było robione. Ten przykład robiłem kilka razy i mi za każdym źle wychodziło. Mam w zeszycie zapisane ok. 9 stron pisania tego przykładu z czego jeden raz wyszły mi 2 kolumny dobrze. Dlatego uważam że gotowiec dobre objaśniony będzie w sam raz dla mnie, który uczy się rozwiązywać takie zadania wzrokowo. Ew. mogę podesłać skan w którym miałem te 2 kolumny dobre.

kocorrr · Post autor: **kocorrr** » 15 gru 2013, o 19:17

Najpierw musisz obliczyć wyznacznik tej macierzy
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&3&4&5\\3&0&0&2\\5&1&2&7\\2&0&0&3\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ K_{2} - 3K_{1}}\)
od kolumny 2 odejmij 3x kolumna 1\(\displaystyle{ K_{3} - 4K_{1}}\)od kolumny 3 odejmij 4x kolumna 1\(\displaystyle{ K_{4} - 5K_{3}}\)od kolumny 4 odejmij 5x kolumna 1

wyjdzie ci coś takiego

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\3&-9&-12&-13\\5&-14&-18&-18\\2&-6&-8&-7\end{array}\right]}\)

korzystajac z rozwiniecia Laplace'a: skreslamy 1 wiersz i 1 kolumne i mamy:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-9&-12&-13\\-14&-18&-18\\-6&-8&-7\end{array}\right] \cdot 1 \cdot (-1)^{1+1}}\)

teraz korzystasz z twierdzenia Sarusa i wyliczasz wyznacznik (wynik to 10 \(\displaystyle{ \neq0}\) czyli macierz odwrotna istnieje

jezeli masz juz wyznacznik to musisz policzyc dopelnienie kazdego elementu czyli \(\displaystyle{ a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, .... a_{44}}\)
Nastepnie tworzysz macierz tych dopelnień(transponujesz ją czyli zamieniasz wiersze z kolumnami) i mnozysz przez 1/wyznacznik

rtuszyns · Post autor: **rtuszyns** » 15 gru 2013, o 19:46

ratini pisze: który uczy się rozwiązywać takie zadania wzrokowo.

Przez przyglądanie się matematyki nie nauczysz...

Postaram się wyjaśnić:
Mamy macierz \(\displaystyle{ A}\) i potrzebujemy wyznaczyć macierz odwrotną \(\displaystyle{ A^{-1}}\).
Wzór (metodą dopełnień algebraicznych) na macierz odwrotną do macierzy \(\displaystyle{ A}\) jest postaci
\(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{\det A}A_{ij}^T}\),
gdzie
\(\displaystyle{ \det A}\) - wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ A}\),
\(\displaystyle{ A_{ij}}\) - macierz dopełnień algebraicznych macierzy \(\displaystyle{ A}\),
\(\displaystyle{ \dots^T}\) - transpozycja macierzy
Kolejność postępowania:
1. Obliczamy wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ A}\) (jeżeli \(\displaystyle{ \det A=0}\), to macierz \(\displaystyle{ A}\) jest nieodwracalna)
2. Wyznaczamy dopełnienia algebraiczne dla elementów macierzy \(\displaystyle{ A}\)
\(\displaystyle{ A_{ij}=\left( \begin{array}{cccc}A_{11}&A_{12}&A_{13}&\dots\\
A_{21}&A_{22}&A_{23}&\dots\\
A_{31}&A_{32}&A_{33}&\dots\\
\vdots&\vdots}&\vdots&\ddots\end{array}\right)}\)
wg wzoru
\(\displaystyle{ A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}}\),
gdzie \(\displaystyle{ M_{ij}}\) jest wyznacznikiem macierzy (podmacierzy) powstałej ze skreślenia \(\displaystyle{ i}\)-tego wiersza i \(\displaystyle{ j}\)-tej kolumny w macierzy \(\displaystyle{ A}\)
3. Transpozycja macierzy \(\displaystyle{ A_{ij}}\) (zamiana wierszy na kolumny)
4. Pomnożenie tak otrzymanej macierzy przez \(\displaystyle{ \frac{1}{\det A}}\)

Poprawność wyznaczenia macierzy odwrotnej można sprawdzić wykonując mnożenie macierzy
\(\displaystyle{ AA^{-1}=I}\),
gdzie \(\displaystyle{ I}\) - macierz jednostkowa.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 15 gru 2013, o 22:49

rtuszyns pisze:Dodaj wiersz drugi do czwartego. Potem odejmij od czwartej kolumny pierwszą. Łatwo teraz obliczyć wyznacznik.
Następnie postępuj wg wzoru na macierz odwrotną...

Jak już wykonywac operacje elementarne to może od razu dołączyc do odwracanej macierzy macierz
jednostkową i na powstałej w ten sposób macierzy wykonywac operacje elementarne

rtuszyns · Post autor: **rtuszyns** » 16 gru 2013, o 11:08

mariuszm pisze:
rtuszyns pisze:Dodaj wiersz drugi do czwartego. Potem odejmij od czwartej kolumny pierwszą. Łatwo teraz obliczyć wyznacznik.
Następnie postępuj wg wzoru na macierz odwrotną...

Jak już wykonywac operacje elementarne to może od razu dołączyc do odwracanej macierzy macierz
jednostkową i na powstałej w ten sposób macierzy wykonywac operacje elementarne

Jest to obojętne.