Operatory liniowe

[LeoBolzano]

Wykazać, że każdy operator liniowy odwzorowuje dowolny liniowo zależny układ wektorów na układ liniowo zależny.

Jak to przeczytałem wydawało mi się proste, ale teraz mi czegoś brakuje

[szw1710]

Jeśli jakiś wektor przedstawia się jako kombinacja liniowa pozostałych (WKW liniowej zależności), to z liniowości obraz tego wektora też przedstawia się jako kombinacja liniowa (z tymi samymi skalarami) obrazów wektorów pozostałych. Koniec dowodu.

Pytanie dodatkowe na zrozumienie sprawy. Czy analogiczny fakt ma miejsce dla układów liniowo niezależnych? Jeśli tak, to OK. Jeśli nie, to co dodatkowo trzeba założyć, aby miał miejsce?

[LeoBolzano]

Dla wektorów liniowo niezależnych trzeba pewnie założyć trywialność jądra tego operatora. Przynajmniej z takim założeniem potrafiłbym to udowodnić . Dzięki za pomoc! Ja próbowałem robić to z definicji :/. Zawsze zapominam o tym twierdzeniu, a ono sporo ułatwia.

[szw1710]

Dobrze mówisz. Czyli odwzorowanie liniowe musi być monomorfizmem i to wystarczy. Pójdzie i w drugą stronę. Tzn. jeśli obrazy układów liniowo niezależnych są zawsze liniowo niezależne, to odwzorowanie jest monomorfizmem. Nie sprawdzałem, ale to jest zbyt ładne, żeby nie było prawdziwe . Epimorfizm da dodatkowo przekształcanie układu generującego na generujący. Tak więc w izomorfizmie baza przechodzi na bazę. ze drugą stronę - oczywiste.

[freeszpak]

Właśnie chciałem zrobić to zadanie i nie wiem czy dobrze rozumiem odpowiedź szw1710. Chodzi o coś takiego?

Mamy układ liniowo zależny: \(\displaystyle{ w= a_{1}v _{1} +a_{2}v _{2} + . . . +a_{n}v _{n}}\)
Teraz nakładamy przekształcenie liniowe T: \(\displaystyle{ T(w)=T(a_{1}v _{1} )+ T(a_{2}v _{2} )+ . . . + T(a_{n}v _{n} )}\)
A ponieważ jest to przekształcenie liniowe to \(\displaystyle{ T(w)=a_{1}T(v _{1} )+a_{2}T(v _{2} )+ . . . +a_{n}T(v _{n} )}\) i mamy znowu układ liniowo zależny. Jest to dobrze uzasadnione?

[yorgin]

Tzn. jeśli obrazy układów liniowo niezależnych są zawsze liniowo niezależne, to odwzorowanie jest monomorfizmem. Nie sprawdzałem, ale to jest zbyt ładne, żeby nie było prawdziwe .

No nie, tak pięknie to nie będzie. Odwzorowanie zerujące się na całej przestrzeni spełnia Twoje założenie, ale nie spełnia tezy. Poprawniej jest tak:

Jeżeli odwzorowanie liniowe przekształca pewną bazę w sposób iniektywny (tj dwa różne wektory bazowe przechodzą na dwa różne wektory liniowo niezależne) na układ liniowo niezależny, to jest monomorfizmem.

Bez założenia, że przekształcamy bazę, twierdzenie oczywiście jest fałszywe. Można wziąć na przykład \(\displaystyle{ f\colon\RR^2\ni (x,y)\mapsto x\in\RR}\). Łatwo sprawdzić, że dowolny układ liniowo niezależny przechodzi na układ liniowo niezależny, ale próżno doszukiwać się tutaj monomorfizmu.

Epimorfizm da dodatkowo przekształcanie układu generującego na generujący. Tak więc w izomorfizmie baza przechodzi na bazę. ze drugą stronę - oczywiste.

Podobnie jak poprzednio:

Jeżeli odwzorowanie liniowe przekształca iniektywnie pewną bazę na bazę, to jest izomorfizmem.

Bez założenia iniektywności twierdzenie oczywiście jest fałszywe.

Najprościej jest dla epimorfizmów:

Jeżeli odwzorowanie liniowe przekształca pewien zbiór generują na zbiór generujący, to jest epimorfizmem.

[szw1710]

freeszpak, OK

yorgin, w odwzorowaniu zerowym obraz każdego wektora jest wektorem zerowym, więc wektory liniowo niezależne przechodzą na liniowo zależne.

W przykładzie z rzutem: \(\displaystyle{ f(1,0)=1}\), \(\displaystyle{ f(1,1)=1}\) i układ liniowo niezależny przechodzi na liniowo zależny.

Z przechodzeniem bazy na bazę - masz rację.