Przestrzenie i przekształcenia liniowe

[princess691]

Niech \(\displaystyle{ U, V, W}\)będą przestrzeniami skończonego wymiaru nad ciałem \(\displaystyle{ K}\) i niech \(\displaystyle{ \psi: U \rightarrow V, \phi: V \rightarrow W}\) będą przekształceniami liniowymi.

a) Pokaż, że \(\displaystyle{ dim\ im(\phi \circ \psi)=dim\ im\psi - dim(ker \phi \cap im \psi)}\)
b) Pokaż, że \(\displaystyle{ dim\ker (\phi \circ\psi)=dim\ker\psi+dim(ker\phi \cap im\psi)}\)-- 12 gru 2013, o 19:15 --jest tu ktś kto to ogarnia?

[kammeleon18]

Niech \(\displaystyle{ U, V, W}\)będą przestrzeniami skończonego wymiaru nad ciałem \(\displaystyle{ K}\) i niech \(\displaystyle{ \psi: U \rightarrow V, \phi: V \rightarrow W}\) będą przekształceniami liniowymi.

a) Pokaż, że \(\displaystyle{ dim\ im(\phi \circ \psi)=dim\ im\psi - dim(ker \phi \cap im \psi)}\)
b) Pokaż, że \(\displaystyle{ dim\ker (\phi \circ\psi)=dim\ker\psi+dim(ker\phi \cap im\psi)}\)

Oznaczenie:
\(\displaystyle{ V \large{/} W}\) - przestrzeń ilorazowa
\(\displaystyle{ V \approx W}\) oznacza, że przestrzenie liniowe V i W są izomorficzne
\(\displaystyle{ [v]}\) - warstwa elementu v.

Rozwiązania
a)Równoważnie wystarczy pokazać, że
\(\displaystyle{ \ im(\phi \circ \psi) \approx im\psi \large{/} ker \phi \cap im \psi}\)
Pokaż, że odwzorowanie \(\displaystyle{ \phi \circ \psi (v) \rightarrow [\psi (v)]}\) jest izomorfizmem. Należy zatem wykazać, że jest
- dobrze określone
- homomorfizmem
- różnowartościowe
- na


b) Analogicznie
\(\displaystyle{ \ker (\phi \circ\psi) \large{/} \ker\psi \approx ker\phi \cap im\psi}\)
gdzie szukanym izomorfizmem jest \(\displaystyle{ [v] \rightarrow \psi (v)}\)