baza przestrzeni - parę pytań

[kalwi]

nie potrafię sobie tego zobrazować, co to jest i jak to działa. Wiem, że układ musi być liniowo niezależny, czyli, że żadnego wektora w układzie nie da się zapisać jako kombinacji pozostałych (czyli np. \(\displaystyle{ \left( \left( 1,0\right),\left( 0,1\right),\left( 1,1\right) \right)}\) jest już liniowo zależny, right?)
no, ale na tym się kończy moje rozumienie obecnego działu. jeszcze się pojawiają jakieś \(\displaystyle{ Lin{}}\), czyli powłoka liniowa czy jak to się tam zwie, nie mam pojęcia co to jest. I niech na przykład będzie takie zadanie: Czy układ jest liniowo niezależny? Czy jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) nad \(\displaystyle{ K}\)?

\(\displaystyle{ V=\CC \ \ K=\CC \ \ \mu = \left( 1-2j,3+j\right)}\)

i teraz trzeba pokazać niezależność liniową, czyli

\(\displaystyle{ a(1-2j,3+j)=(0,0)}\)

no więc \(\displaystyle{ a}\) musi być \(\displaystyle{ 0}\), czyli jest liniowo niezależny? zakładając, że tak, to jak wyznaczyć bazę? oraz jak by to zadanie się różniło, jeśli \(\displaystyle{ K=\RR}\) ?

[lukasz1804]

Twój zapis \(\displaystyle{ a(1-2j,3+j)=(0,0)}\) jest niewłaściwy. Symbol \(\displaystyle{ \mu}\) oznacza układ dwóch wektorów.

Aby zbadać liniową zależność tego układu, trzeba obrać dwa parametry \(\displaystyle{ a,b\in K}\) i założyć, że

\(\displaystyle{ a(1-2j)+b(3+j)=0}\).

W przypadku \(\displaystyle{ K=\RR}\) łatwo widać, że \(\displaystyle{ a=b=0}\), czyli układ \(\displaystyle{ \mu}\) jest liniowo niezależny nad \(\displaystyle{ \RR}\).
Jeśli \(\displaystyle{ K=\CC}\), to przyjmujemy \(\displaystyle{ a=x+jy, b=z+jw}\) i mamy \(\displaystyle{ x-2xj+jy+2y+3z+3wj+zj-w=0\iff (x+2y+3z-w)+(y-2x+3w+z)=0}\). Z powyższego otrzymujemy układ dwóch równań z czterema niewiadomymi (\(\displaystyle{ x,y,z,w\in\RR}\)), który na pewno posiada niezerowe rozwiązanie (wskaż przykład odpowiedniej czwórki liczb). Zatem układ \(\displaystyle{ \mu}\) jest liniowo zależny nad \(\displaystyle{ \CC}\).